Monday, September 27, 2021
HomePDF ডাউনলোডত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিডিএফ ডাউনলোড

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিডিএফ ডাউনলোড

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

পিডিএফ ডাউনলোড

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ প্রমাণ

SSC Higher Math Chapter 8.2

১. ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে মান নির্ণয় করঃ

cos π/4

ক) ——————–

cos π/6+sin π/3

সমাধানঃ

cos π/4

——————–

cos π/6+sin π/3

1/√2

=——————

√3/2 + √3/2

1/√2

=—————

2.√3/2

1/√2

=—————

√3

=1/√2✕1/√3

=1/√6

খ) tan π/4+tan π/6.tan π/3

সমাধানঃ

tan π/4+tan π/6-tan π/3

=1+1/√3✕√3

=1+1

=2

২. cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2 হলে tanθ এবং sinθ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2

এখন,

cosθ = -4/5

বা, cos2θ = (-4/5)2

বা, cos2θ = 16/25

বা, 1-sin2θ = 16/25

বা, 1-16/25 = sin2θ

25-16

বা, ———- = sin2θ

25

বা, 9/25 = sin2θ

বা, sinθ = ±3/5

যেহেতু π < θ < 3π/2,সেহেতু θ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে sin ঋণাত্মক

সেহেতু  sinθ = -3/5

আবার,

tanθ

sinθ

=——–

cosθ

-3/2

=——–

-4/5

= 3/4

৩. sinA = 2/√5 এবং  π/2 < A < π  এর ক্ষেত্রে cosA এবং tanA এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

sinA = 2/√5

বা, sin2A=4/5 [বর্গ করে]

বা, 1-cos2A=4/5

বা, 1-4/5=cos2A

বা, 1/5 = cos2A

বা, cosA = ±√1/5

বা, cosA = ± 1/√5

যেহেতু π/2 < A < π  তাই, A দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos ঋণাত্মক।

∴ cosA = – 1/√5

এবং

tanA

sinA

=——–

cosA

2/√5

=———-

– 1/√5

= – 2

৪. দেওয়া আছে, cosA = ½ এবং ও একই চিহ্নবিশিষ্ট । sinA এবং tanA এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

cosA = ½

বা, cos2A= ¼ [বর্গ করে]

বা, 1-sin2A = ¼

বা, 1- ¼ = sin2A

বা, sin2A=3/4

বা, sinA = ± √3/2

যেহেতু cosA ধণাত্মক সেহেতু sinA = √3/2

এবং,

tanA

sinA

=———

cosA

√3/2

=———-

½

= √3

৫. দেওয়া আছে, tanA=-5/12 এবং tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। sinA ও cosA এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

tanA=-5/12

বা, tan2A=25/144 [বর্গ করে]

বা, sec2A-1=25/144

বা, sec2A=25/144+1

বা, sec2A=169/144

বা, secA=±13/12 [বর্গমূল করে]

বা, cos=±12/13

যেহেতু, tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট

সেহেতু, cosA=12/13

আবার,

tanA

sinA

=———–

cosA

∴ sinA=tanA.cosA

=-5/12.12/13

=-5/13

৬. নিন্মলিখিত অভেদসমূহ প্রমাণ করঃ

ক) tanA+cotA=secAcosecA

সমাধানঃ

বামপক্ষ

tanA+cotA

=sinA/cosA+cosA/sinA

sin2A+cos2A

=——————–

cosAsinA

1

=—————   [sin2A+cos2A=1]

cosAsinA

=1/cosA+1/sinA

=secA.cosecA

=ডানপক্ষ

∴ tanA+cotA=secAcosecA

খ) এর সমাধানঃ

গ) এর সমাধানঃ

ঘ) sec4θ-sec2θ = tan4θ+tan2θ

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=sec4θ-sec2θ

=sec2θ(sec2θ-1)

=(1+tan2θ)(1+tan2θ-1) [sec2θ=1+tan2θ]

=(1+tan2θ)tan2θ

=tan4θ+tan2θ

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

ঙ) (secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ) = 1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ)

=(1/cosθ-cosθ)(1/sinθ-sinθ)(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)

1-cos2θ  1-sin2θ  sin2θ+cos2θ

=———.———.————–

cosθ      sinθ      cosθsinθ

sin2θ.cos2θ.1

=————————

cosθ.sinθ.cosθsinθ

sin2θ.cos2θ

=—————-

cos2θsin2θ

= 1

= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

tanθ+secθ-1

চ)——————- = tanθ+secθ

tanθ-secθ+1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

tanθ+secθ-1

=———————

tanθ-secθ+1

(secθ+tanθ)-(sec2θ-tan2θ)

=——————————–

tanθ-secθ+1

(secθ+tanθ)-(secθ-tanθ)(secθ+tanθ)

=——————————————

tanθ-secθ+1

(secθ+tanθ)(1-secθ+tanθ)

=———————————

1-secθ+tanθ

=secθ+tanθ

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

৭. যদি cosecA = a/b হয়, যেখানে a > b > 0, তবে প্রমাণ কর যে,

±b

tanA = ———–

√(a2-b2)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosecA = a/b

বা, cosec2A=a2/b2 [বর্গ করে]

বা, 1+cot2A= a2/b2 [cosec2A-cot2A=1]

বা, cot2A= (a2/b2)-1

1           a2-b2

বা, ——- = ———

tan2A         b2

b2

বা, tan2A = ————

a2-b2

±b

বা, tanA = ———–

√(a2-b2)

±b

∴tanA = ———– [প্রমাণিত]

√(a2-b2)

৮. যদি cosθ-sinθ = √2.sinθ হয়, তবে দেখাও যে, cosθ+sinθ=√2.cosθ

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosθ-sinθ = √2.sinθ

বা, cosθ=√2.sinθ+sinθ

বা, cosθ=sinθ(√2+1)

বা, (√2-1)cosθ=sinθ(√2+1)(√2-1)  [(√2-1) দ্বারা উভয়পক্ষে গুণ করে]

বা, √2cosθ-cosθ=(2-1)sinθ

বা, √2cosθ-cosθ=sinθ

বা, cosθ+sinθ=√2cosθ [দেখানো হলো]

৯. tanθ=x/y, x≠y হলে,

xsinθ+ycosθ

—————-

xsinθ-ycosθ

এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

tanθ=x/y

sinθ        x

বা, ——- = —–

cosθ        y

x.sinθ          x.x

বা, ———- = ——

y.cosθ        y.y

[উভয়পক্ষকে x/y দ্বারা গুণ করে]

x.sinθ        x2

বা, ———- = ——

y.cosθ        y2

xsinθ+ycosθ       x2+y2

বা, —————- =——–

xsinθ-ycosθ        x2-y2

[যোজন-বিয়োজন করে]

১০. tanθ+secθ=x হলে,

দেখাও যে,

x2-1

sinθ = ———

x2+1

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

tanθ+secθ=x

বা, sinθ/cosθ+1/cosθ=x

1+sinθ

বা, ———– =x

cosθ

(1+sinθ)2

বা, ————- =x2

cos2θ

[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

(1+sinθ)2

বা, ————- =x2

1-sin2θ

[যেহেতু cos2θ=1-sin2θ]

(1+sinθ)(1+sinθ)

বা, ———————– =x2

(1-sinθ)(1+sinθ)

(1+sinθ)

বা, ————=x2

(1-sinθ)

1+sinθ+1-sinθ       x2+1

বা, ———————=———-

1+sinθ-1+sinθ         x2-1

[যোজন-বিয়োজন করে]

2           x2+1

বা, ———=———-

2sinθ        x2-1

x2-1

বা, sinθ =———-

x2+1

[দেখানো হলো]

১১. acosθ-bsinθ = c হলে, প্রামাণ কর যে, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

acosθ-bsinθ = c……..(i)

ধরি,

acosθ+bsinθ = x ………(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) বর্গ করে যোগ করে পাই,

a2cos2θ+b2sin2θ-2ab sinθ cosθ+a2sin2θ+b2cos2θ+2ab sinθ cosθ =c2+x2

বা, a2(sin2θ+cos2θ)+b2(sin2θ+cos2θ)=c2+x2

বা, a2.1+b2.1=c2+x2

বা, a2+b2=c2+x2

বা, x2=a2+b2-c2

বা, x=±√(a2+b2-c2)

বা, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2) [প্রমাণিত]

১২. মান নির্ণয় করঃ

ক) sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6

সমাধানঃ

sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6

= (½)2+(1/√2)2+(√3)2+(√3)2

= ¼+ ½ + 3 + 3

1+2+12+12

=——————-

4

= 27/4

খ) 3tan2 π/4 – sin2 π/3 – ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4

সমাধানঃ

3tan2 π/4 – sin2 π/3 – ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4

=3.(1)2-(√3/2)2- ½(√3)2+ 1/3(√2)2

=3-3/4-3/2+2/3

36-9-18+8

=—————–

12

=17/12

গ) tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6

সমাধানঃ

tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6

=(1)2-(√3/2)2.(1/√3)2.(√3)2.(1/√2)2

=1-3/4.1/3.3.1/2

=1-3/8

8-3

=——–

8

=5/8

tan π/3 -tan π/6

ঘ)  ——————–

1+tan π/3 tan π/6

+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6

সমাধানঃ

tan π/3 -tan π/6

——————–

1+tan π/3 tan π/6

+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6

√3-1/√3

=—————-

1+√3.1/√3

+ ½.√3/2+√3/2.½

3-1

——

√3

=——+√3/4+√3/4

1+1

2/√3

=——+√3/4+√3/4

2

=1/√3+√3/4+√3/4

=1/√3+2.√3/4

=1/√3+√3/2

2+√3. √3

=————-

  1. √3

2+3

=———-

2.√3

5

=———-

2.√3

5.√3

=————-

2.√3. √3

5.√3

=———

2.3

5.√3

=———

6

১৩. সরল করঃ

1-sin2 π/6           cos2 π/3+cos2 π/6

————- ✕ ———————–

1+sin2 π/4         cosec2 π/2-cot2 π/2

÷ (sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)

সমাধানঃ

[বিশেষ কারনে এখানে ভেঙ্গে ভেঙ্গে দেখানো হলো, ছাত্র-ছাত্রীরা একত্রে করবে]

1-sin2 π/6

————-

1+sin2 π/4

1 – (½)2

=————-

1 + (1/√2)2

1 – ¼

=———-

1 + ½

¾

=——-

3/2

=3/4✕2/3

= ½

আবার,

cos2 π/3+cos2 π/6

———————–

cosec2 π/2-cot2 π/2

(½)2+(√3/2)2

=——————-

1-0

= ¼ + 3/4

= 4/4

= 1

এবং,

(sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)

=(√3/2.1/√3)+{(2/√3)2-(1/√3)2}

= ½ + (4/3 -1/3)

= ½ + 3/3

= ½ + 1

অতএব, প্রদত্ত রাশি

= ½ ✕ 1 ÷ ½ + 1

= ½ ✕ 1 ✕ 2 + 1

= 1 + 1

= 2

Download From Google Drive

Download

 Download From Yandex

Download

👀 প্রয়োজনীয় মূর্হুতে 🔍খুঁজে পেতে শেয়ার করে রাখুন.! আপনার প্রিয় মানুষটিকে “send as message”এর মাধ্যমে শেয়ার করুন। হয়তো এই গুলো তার অনেক কাজে লাগবে এবং উপকারে আসবে।

RELATED ARTICLES

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

- Advertisment -

Most Popular

Recent Comments

auto ads
error: Content is protected !!