সেট ও ফাংশন সৃজনশীল প্রশ্ন সমাধান
পিডিএফ ডাউনলোড
1) P={x:x∈N এবং x2−7x+6=0}
Q={x:x∈N এবং 1≤x<5}
R={2,4,6} হলে−
ক) P সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) প্রমাণ কর যে, (P∖Q)∪(Q∖P)=(P∪Q)∖(P∩Q).
গ) দেখাও যে, P×(Q∪R)=(P×Q)∪(P×R).
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
P={x:x∈N এবং x2−7x+6=0}
এখানে,x2−7x+6=0
বা, x2−6x−x+6=0
বা, x(x−6)−1(x−6)=0
বা, (x−6)−(x−1)=0
হয়, x−6=0 অথবা, x−1=0
বা, x=6 বা, x=1
অতএব, নির্ণেয় সেট, P={1,6}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
Q={x:x∈N এবং 1≤x<5}
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3……..}
∴Q={1,2,3,4}
এবং ‘ক’ হতে প্রাপ্ত,
P={1,6}
এখন, P∖Q={1,6}∖{1,2,3,4}
={6}
Q∖P={1,2,3,4}∖{1,6}
={2,3,4}
P∪Q={1,6}∪{1,2,3,4}
={1,2,3,4,6}
এবং P∩Q={1,6}∩{1,2,3,4}
={1}
∴ বামপক্ষ =(P∖Q)∪(Q∖P)
={6}∪{2,3,4}
={2,3,4,6}
এবং ডানপক্ষ =(P∪Q)∖(P∩Q)
={1,2,3,4,6}∖{1}
={2,3,4,6}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
( প্রমাণিত )
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
R={2,4,6}
‘ক’ হতে প্রাপ্ত, P={1,6}
এবং ‘খ’ হতে প্রাপ্ত, Q={1,2,3,4}
এখন, Q∪R={1,2,3,4}∪{2,4,6}
={1,2,3,4,6}
আবার, P×Q={1,6}×{1,2,3,4}
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}
এবং P×R={1,6}×{2,4,6}
={(1,2),(1,4),(1,6),(6,2),(6,4),(6,6)}
∴ বামপক্ষ =P×(Q∪R)
={1,6}×{1,2,3,4,6}
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,6)}
এবং ডানপক্ষ =(P×Q)∪(P×R)
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}∪{(1,2),(1,4),
(1,6),(6,2),(6,4),(6,6)}
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,6)}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
( দেখানো হলো )
2) A={x∈N:x2−5x+6=0},B={3,4},C={2,4}.
ক) A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C).
গ) প্রমাণ কর যে, A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x2−5x+6=0}
এখানে, x2−5x+6=0
বা, x2−2x−3x+6=0
বা, x(x−2)−3(x−2)=0
বা, (x−2)(x−3)=0
হয়, x−2=0 অথবা, x−3=0
বা, x=2 বা, x=3
অতএব, নির্ণেয় সেট, A={2,3}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={3,4},C={2,4}
∴B∩C={3,4}∩{2,4}
={4}
আবার, P(B)=P(3,4)
={{3,4},{3},{4},ϕ}
এবং P(C)=P(2,4)
={{2,4},{2},{4},ϕ}
∴ বামপক্ষ =P(B∩C)
=P(4)
={{4},ϕ}
এবং ডানপক্ষ =P(B)∩P(C)
={{3,4},{3},{4},ϕ}∩{{2,4},{2},{4},ϕ}
={{4},ϕ}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(দেখানো হলো)
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={3,4},C={2,4} এবং
‘ক’ থেকে পাই,
A={2,3}
এখানে, B∪C={3,4}∪{2,4}
={2,3,4}
আবার, A×B={2,3}×{3,4}
={(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}
এবং A×C={2,3}×{2,4}
={(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)}
∴ বামপক্ষ =A×(B∪C)
={2,3}×{2,3,4}
={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
এবং ডানপক্ষ =(A×B)∪(A×C)
={(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}∪{(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)}
={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
3) A={x:x∈N এবং x2−8x+15=0}
B={1,3}
C={2,3}
D={a,b,c}
ক) A সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) প্রমাণ কর যে, A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C).
গ) P(D) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, P(D) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x:x∈N এবং x2−8x+15=0}
এখানে,x2−8x+15=0
বা, x2−5x−3x+15=0
বা, x(x−5)−3(x−5)=0
বা, (x−5)(x−3)=0
হয়, x−5=0 অথবা, x−3=0
বা, x=5 বা, x=3
∴A={3,5}
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={1,3} ও C={2,3}
এবং ‘ক’ থেকে পাই, A={3,5}
∴B∩C={1,3}∩{2,3}
={3}
এখানে, A×B={3,5}×{1,3}
={(3,1),(3,3),(5,1),(5,3)}
এবং, A×C={3,5}×{2,3}
={(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
বামপক্ষ =A×(B∩C)
={3,5}×{3}
={(3,3),(5,3)}
ডানপক্ষ =(A×B)∩(A×C)
={(3,1),(3,3),(5,1),(5,3)}∩{(3,2),(3,3),(5,3),(5,3)}
={(3,3),(5,3)}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
( প্রমাণিত )
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
D={a,b,c}
∴D এর উপসেটগুলো হলো-
{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},ϕ
অর্থাৎ, P(D)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},ϕ}.
আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে উপসেটের সংখ্যা হবে 2n.
অর্থাৎ, উপাদান সংখ্যা 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান সংখ্যা 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
উপাদান সংখ্যা 3 হলে, উপসেট হবে 23=8
এখানে, D সেটের উপাদান সংখ্যা 3 এবং এর উপসেটর সংখ্যা 8 টি অর্থাৎ, 23, যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(D) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
( দেখানো হলো )
4) A={x∈N:x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা },B={4,5,6}
এবং R={(x,y):x∈A,y∈B এবং y=x+1}
ক) A∪B নির্ণয় কর।
খ) P(B) নির্ণয় করে দেখাও যে, P(B) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
গ) R অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে তার ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা }
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
N={ 1,2,3,4, ———-}
x=1 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=2 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=3 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=4 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=5 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=6 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=7 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=8 হলে, x<9 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=9 হলে, x≮9 এবং বিজোড় সংখ্যা
∴A={1,3,5,7}
এবং B={4,5,6}
∴A∪B={1,3,5,7}∪{4,5,6}={1,3,4,5,6,7}
অতএব, নির্ণেয় মান ={1,3,4,5,6,7}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={4,5,6}
∴B এর উপসেটগুলো হল-{4,5,6},{4,5},{4,6},{5,6},{4},{5},{6},ϕ
অর্থাৎ, P(B)={{4,5,6},{4,5},{4,6},{5,6},{4},{5},{6},ϕ}.
আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, উপসেটের সংখ্যা হবে 2n.
অর্থাৎ, উপাদান 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
উপাদান 3 হলে, উপসেট হবে 23=8
এখানে, B সেটের উপাদান =3 এবং এর উপসেটের সংখ্যা 8 অর্থাৎ, 23, যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(B) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
( দেখানো হলো )
গ) ‘ক’ থেকে পাই,
A={1,3,5,7}
উদ্দীপক থেকে পাই,
B={4,5,6}
এবং R={(x,y):x∈A,y∈B এবং y=x+1}
R বর্ণিত শর্ত থেকে পাই, y=x+1
এখন, প্রত্যেক x∈A এর জন্য y=x+1 এর মান নির্ণয় করি।
x 1 3 5 7
y 2 4 6 8
যেহেতু 2∉Bএবং8∉B, সেহেতু (1,2)∉Rএবং (7,8)∉R
∴R={(3,4),(5,6)}.
∴ ডোম R={3,5}এবং
রেঞ্জ R={4,6}.
5) U={1,2,3,4,5,6,7}
P={x∈N:x3>25 এবং x4≤625} এবং f(t)=1+t2+t4t2
ক) f(−12) এর মান কত?
খ) P′ নির্ণয় কর।
গ) দেখাও যে, f(t−2)=f(t2). $$
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
f(t)=1+t2+t4t2
∴f(−12)=1+(−12)2+(−12)4(−12)2
=1+14+11614
$\boldsymbol[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(-1\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2=1.\frac{1}{4}=\frac{1}{4,}{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}\boldsymbol\left(-\frac{1}{2}\right)^4=\left(-1\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^4=1.\frac{1}{16}=\frac{1}{16} ]\boldsymbol{ =\dfrac{\dfrac{16+4+1}{16}}{\dfrac{1}{4}}}\boldsymbol{ =\dfrac{\dfrac{21}{16}}{\dfrac{1}{4}}}\boldsymbol{ =\dfrac{21}{16}\times \dfrac{4}{1}}\boldsymbol{ =\dfrac{21}{4}}\boldsymbol{\quad}অতএব,নির্ণেয়মান\boldsymbol{=\dfrac{21}{4}.}
খ)উদ্দীপকথেকেপাই,\boldsymbol{\qquad}\boldsymbol{U=\{ 1,2,3,4,5,6,7 \}}\boldsymbol{\qquad}\boldsymbol{P=\{ x \in N: x^3>25 }এবং\boldsymbol{x^4\leq 625\}}আমরাজানি,স্বাভাবিকসংখ্যারসেট,\boldsymbol{\qquad}\boldsymbol{N=\{1 ,2,3,4,5….. \}}\boldsymbol{x=1}হলে,\boldsymbol{x^3=1^3=1 \ngtr 25}এবং\boldsymbol{x^4=1^4=1< 625}\boldsymbol{x=2}হলে,\boldsymbol{x^3=2^3=8 \ngtr 25}এবং\boldsymbol{x^4=2^4=16< 625}\boldsymbol{x=3}হলে,\boldsymbol{x^3=3^3=27 > 25}এবং\boldsymbol{x^4=3^4=81< 625}\boldsymbol{x=4}হলে,\boldsymbol{x^3=4^3=64 > 25}এবং\boldsymbol{x^4=4^4=256< 625}\boldsymbol{x=5}হলে,\boldsymbol{x^3=5^3=125 > 25}এবং\boldsymbol{x^4=5^4=625\leq 625}\boldsymbol{\therefore }\boldsymbol{P=\{ x \in N: x^3>25 }এবং\boldsymbol{x^4\leq 625\}}\boldsymbol{ =\{ 3,4,5 \}}সুতরাং,\boldsymbol{P’=U-P}\boldsymbol{ =\{ 1,2,3,4,5,6,7 \}-\{ 3,4,5 \}}\boldsymbol{ =\{ 1,2,6,7\}}অতএব,নির্ণেয়\boldsymbol{P’=\{ 1,2,6,7\}.}
গ)উদ্দীপকথেকেপাই,\boldsymbol{\qquad}\boldsymbol{f(t)=\dfrac{1+t^2+t^4}{t^2}}\boldsymbol{\therefore f(t^{-2})=\dfrac{1+(t^{-2})^2+(t^{-2})^4}{(t^{-2})^2}}\boldsymbol{ =\dfrac{1+t^{-2\times 2}+t^{-2\times 4}}{t^{-4}} {[ (a^m)^n=a^{mn} ]}}\boldsymbol{ =\dfrac{1+t^{-4}+t^{-8}}{t^{-4}}}\boldsymbol{ =\dfrac{1+\dfrac{1}{t^4}+\dfrac{1}{t^8}}{\dfrac{1}{t^4}} {[ a^{-1}=\dfrac{1}{a} ]}}\boldsymbol{ =\dfrac{\dfrac{t^8+t^4+1}{t^8}}{\dfrac{1}{t^4}}}\boldsymbol{ =\dfrac{t^8+t^4+1}{t^8}\times \dfrac{t^4}{1}}\boldsymbol{ =\dfrac{t^8+t^4+1}{t^4}}আবার,\boldsymbol{f(t)=\dfrac{1+t^2+t^4}{t^2}}\boldsymbol{\therefore f(t^{2})=\dfrac{1+(t^{2})^2+(t^2)^4}{(t^2)^2}}\boldsymbol{ =\dfrac{1+t^{2\times2}+t^{2\times4}}{t^{2\times2}} {[ (a^m)^n=a^{mn} ]}}\boldsymbol{ =\dfrac{1+t^4+t^8}{t^4}}\boldsymbol{ =\dfrac{t^8+t^4+1}{t^4}}\boldsymbol{\therefore f(t^{-2})=f(t^2)}{ }(দেখানোহলো)$
6) U={1,2,3,4,5,6,7}
A={x∈N:x2>15 এবং x3<225}
B={x∈N:4≤x≤7}
এবং C=A∪B.
ক) A সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, (A∩B)′=A′∪B′.
গ) প্রমাণ কর যে, C সেটের উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x2>15 এবং x3<225}
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3,………}
x=1 হলে, x2=12=1≯15 এবং x3=13=1<225
x=2 হলে, x2=22=4≯15 এবং x3=23=8<225
x=3 হলে, x2=32=9≯15 এবং x3=33=27<225
x=4 হলে, x2=42=16>15 এবং x3=43=64<225
x=5 হলে, x2=52=25>15 এবং x3=53=125<225
x=6 হলে, x2=62=36>15 এবং x3=63=216<225
x=7 হলে, x2=72=49>15 এবং x3=73=343≮225
∴A={4,5,6}
অতএব, নির্ণেয় সেট, A={4,5,6}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
U={1,2,3,4,5,6,7}
B={x∈N:4≤x≤7}
={4,5,6,7}
‘ক’ থেকে পাই,
A={4,5,6}
এখন, A′=U−A
={1,2,3,4,5,6,7}−{4,5,6}
={1,2,3,7}
B′=U−B
={1,2,3,4,5,6,7}−{4,5,6,7}
={1,2,3}
এবং A∩B={4,5,6}∩{4,5,6,7}
={4,5,6}
বামপক্ষ =(A∩B)′
=U−(A∩B)
={1,2,3,4,5,6,7}−{4,5,6}
={1,2,3,7}
ডানপক্ষ =A′∪B′
={1,2,3,7}∪{1,2,3}
={1,2,3,7}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
সুতরাং, (A∩B)′=A′∪B′.
(প্রমাণিত)
গ) ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,
A={4,5,6}
‘খ’ থেকে প্রাপ্ত,
B={4,5,6,7}
উদ্দীপক অনুসারে,
C=A∪B
={4,5,6}∪{4,5,6,7}
={4,5,6,7}
C সেটের উপসেট সমূহ – {4,5,6,7}, {4,5,6}, {4,5,7}, {4,6,7}, {5,6,7}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6},
{5,7}, {6,7}, {4}, {5}, {6}, {7}, ϕ
∴P(C)= {{4,5,6,7}, {4,5,6}, {4,5,7}, {4,6,7}, {5,6,7}, {4,5}, {4,6}, {4,7}, {5,6},
{5,7}, {6,7}, {4}, {5}, {6}, {7}, ϕ}.
আমরা জানি, কোনো উপাদান সংখ্যা n হলে, উপসেটের সংখ্যা হবে 2n।
অর্থাৎ, উপাদান সংখ্যা 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান সংখ্যা 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
অনুরূপভাবে, উপাদান সংখ্যা 4 হলে, উপসেট হবে 24=16
এখানে, C সেটের উপাদান সংখ্যা 4 এবং এর উপসেটের সংখ্যা 16 অর্থাৎ, 24, যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। (প্রমাণিত)
7) P={x∈N:x2≥16 এবং x3≤125}
Q={a∈N:a2−5a+6=0}
f(z)=4z−14z+1
ক) P সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
খ) P∪Q=(P∖Q)∪(Q∖P)∪(P∩Q) প্রমাণ কর।
গ) f(1z2)+1f(1z2)−1 এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
P={x∈N:x2≥16 এবং x3≤125}
এখানে, N হলো সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
অর্থাৎ N={1,2,3,4,………}
x=1 হলে, x2=1≯16 এবং x3=1<125
x=2 হলে, x2=4≯16 এবং x3=8<125
x=3 হলে, x2=9≯16 এবং x3=27<125
x=4 হলে, x2=16>16 এবং x3=64<125
x=5 হলে, x2=25>16 এবং x3=125<125
x=6 হলে, x2=36>16 এবং x3=216≮125
∴P={x∈N:x2≥16 এবং x3≤125}
={4,5}
অতএব, নির্ণেয় সেট, P={4,5}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
Q={a∈N:a2−5a+6=0}
এখানে,N={1,2,3,4,………}
এবংa2−5a+6=0
বা,a2−2a−3a+6=0
বা,a(a−2)−3(a−2)=0
বা,(a−2)(a−3)=0
হয়,a−2=0 \quad \text{ অথবা,} a−3=0
বা,a=2 বা, a=3
∴Q={a∈N:a2−5a+6=0}
={2,3}
এবং ‘ক’ থেকে পাই, P={4,5}
এখন, P∖Q={4,5}∖{2,3}
={4,5}
Q∖P={2,3}∖{4,5}
={2,3}
এবং P∩Q={4,5}∩{2,3}
={}
বামপক্ষ =P∪Q
={4,5}∪{2,3}
={2,3,4,5}
ডানপক্ষ =(P∖Q)∪(Q∖P)∪(P∩Q)
={4,5}∪{2,3}∪{}
={2,3,4,5}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
( প্রমাণিত )
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
f(z)=4z−14z+1
∴f(1z2)=4(1z2)−14(1z2)+1
=4z2−14z2+1
=4−z2z24+z2z2
=4−z2z2×z24+z2
=4−z24+z2
∴ প্রদত্ত রাশি,
f(1z2)+1f(1z2)−1=4−z24+z2+14−z24+z2−1
=4−z2+4+z24+z24−z2−(4+z2)4+z2
=4−z2+4+z24+z24−z2−4−z24+z2
=84+z2−2z24+z2
=84+z2×4+z2−2z2
=8−2z2
=−4z2
অতএব, নির্ণেয় মান =−4z2
8) f(x)=x2+4x+3
A={x∈N:x বিজোড় সংখ্যা এবং x<6}
B={x∈N:x,21 এর গুণনীয়ক } এবং
C={x∈N:x,7 এর গুণিতক এবং x<35}
ক) f(−1) এর মান নির্ণয় কর ।
খ) দেখাও যে, A এর উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে ।
গ) দেখাও যে, A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
[ সমাধান লুকাই ]
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
f(x)=x2+4x+3
∴f(−1)=(−1)2+4(−1)+3
=1−4+3
=4−4
=0
অতএব, f(−1) এর নির্ণেয় মান =0
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x বিজোড় সংখ্যা এবং x<6}
এখানে, N হল সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
অর্থাৎ, N={1,2,3,4………}
x=1 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=2 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=3 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=4 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=5 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=6 হলে, x≮6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
∴A={x∈N:x বিজোড় সংখ্যা এবং x<6}
={1,3,5}
A সেটের উপসেটগুলো-
{1,3,5},{1,3},{1,5},{3,5},{1},{3},{5},ϕ
∴P(A)={{1,3,5},{1,3},{1,5},{3,5},{1},{3},{5},ϕ}
এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা 3 এবং P(A) এর উপাদান সংখ্যা 8 বা 23.
∴A এর উপাদান সংখ্যা 3 হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা 23
সুতরাং A এর উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে ।
(দেখানো হলো)
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x বিজোড় সংখ্যা এবং x<6}
এখানে, N হল সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
অর্থাৎ, N={1,2,3,4………}
x=1 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=2 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=3 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=4 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
x=5 হলে, x<6 এবং বিজোড় সংখ্যা
x=6 হলে, x≮6 এবং বিজোড় সংখ্যা নয়
∴A={x∈N:x বিজোড় সংখ্যা এবং x<6}
={1,3,5}
আবার, দেওয়া আছে, B={x∈N:x,21 এর গুণনীয়ক }
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N={1,2,3,4………}
x=1 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক
x=2 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক নয়
x=3 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক
x=4 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক নয়
x=5 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক নয়
x=6 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক নয়
x=7 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক
এইরূপে,
x=21 হলে, x,21 এর গুণনীয়ক
∴B={x∈N:x,21 এর গুণনীয়ক }
={1,3,7,21}
এবং C={x∈N:x,7 এর গুণিতক এবং x<35}
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N={1,2,3,4………}
x=1 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=2 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=3 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=4 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=5 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=6 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক নয়
x=7 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক
এইরূপে,
x=14 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক
x=21 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক
x=28 হলে, x<35 এবং x,7 এর গুণিতক
x=35 হলে, x≮35 এবং x,7 এর গুণিতক
∴C={x∈N:x,7 এর গুণিতক এবং x<35} ={7,14,21,28}
অতএব,
A={1,3,5}
B={1,3,7,21}
C={7,14,21,28}
এখন, B∩C={1,3,7,21}∩{7,14,21,28}
={7,21}
∴A×(B∩C)={1,3,5}×{7,21}
={(1,7),(1,21),(3,7),(3,21),(5,7),(5,21)}
আবার, A×B={1,3,5}×{1,3,7,21}
={(1,1),(1,3),(1,7),(1,21),(3,1),(3,3),(3,7),(3,21), (5,1),(5,3),(5,7),(5,21)}
এবং A×C={1,3,5}×{7,14,21,28}
={(1,7),(1,14),(1,21),(1,28),(3,7),(3,14),(3,21),(3,28), (5,7),(5,14),(5,21),(5,28)}
∴(A×B)∩(A×C)={(1,1),(1,3),(1,7),(1,21),(3,1), (3,3),(3,7),(3,21),(5,1),(5,3),(5,7),(5,21)}∩ {(1,7),(1,14),(1,21),(1,28),(3,7),(3,14),(3,21),(3,28),(5,7),(5,14),(5,21),(5,28)}
={(1,7),(1,21),(3,7),(3,21),(5,7),(5,21)}
অতএব, A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
(দেখানো হলো)
9) সার্বিক সেট U={x:x∈N,x2<50}
A={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8}
B={4,5}
C={x∈N:x2>5 এবং x3<130}
ক) A ও C সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) প্রমাণ কর যে, (A∪B)∩C=(A∩B)∪(B∪C)
গ) P(B′−A′) নির্ণেয় কর।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8}
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3,4,………..}
এবং মৌলিক সংখ্যাঃ ১ এর চেয়ে বড় যে সব সংখ্যার ১ এবং সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোন গুণনীয়ক নেই, সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।
∴ x=1 হলে-গ্রহণযোগ্য নয়।
x=2, হলে, x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8
x=3, হলে, x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8
x=4, হলে, x মৌলিক সংখ্যা নয় এবং x<8
x=5, হলে, x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8
x=6, হলে, x মৌলিক সংখ্যা নয় এবং x<8
x=7, হলে, x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8
x=8, হলে, x মৌলিক সংখ্যা নয় এবং x≮8
∴ A={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<8}
={2,3,5,7}
আবার, C={x∈N:x2>5 এবং x3<130}
এখানে, N={1,2,3,4,………..}
∴ x=1 হলে, x2=12≯5 এবং x3=13<130
x=2 হলে, x2=22≯5 এবং x3=23<130
x=3 হলে, x2=32>5 এবং x3=33<130
x=4 হলে, x2=42>5 এবং x3=43<130
x=5 হলে, x2=52>5 এবং x3=53<130
x=6 হলে, x2=62>5 এবং x3=63≮130
∴ C={x∈N:x2>5 এবং x3<130}
={3,4,5}.
খ) ‘ক’ থেকে পাই,
A={2,3,5,7}, C={3,4,5}
এবং উদ্দীপক থেকে পাই,
B={4,5}
এখন, A∪B={2,3,5,7}∪{4,5}
={2,3,4,5,7}
এবং A∩B={2,3,5,7}∪{4,5}
={5}
আবার, B∪C={4,5}∪{3,4,5}
={3,4,5}
বামপক্ষ =(A∪B)∩C
={2,3,4,5,7}∩{3,4,5}
={3,4,5}
ডানপক্ষ =(A∩B)∪(B∪C)
={5}∪{3,4,5}
={3,4,5}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
U={x:x∈N,x2<50}
এখানে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3,4,………..}
∴ x=1 হলে, x2=12<50
x=2 হলে, x2=22<50
x=3 হলে, x2=32<50
x=4 হলে, x2=42<50
x=5 হলে, x2=52<50
x=6 হলে, x2=62<50
x=7 হলে, x2=72<50
x=8 হলে, x2=82≮50
∴ U={x:x∈N,x2<50}
={1,2,3,4,5,6,7}
এখন, B′=U/B
={1,2,3,4,5,6,7}/{4,5}
={1,2,3,6,7}
এবং A′=U/A
={1,2,3,4,5,6,7}/{2,3,5,7}
={1,4,6}
∴B′−A′={1,2,3,6,7}−{1,4,6}
={2,3,7}
∴P(B′−A′)=P(2,3,7)
={{2,3,7},{2,3},{2,7},{3,7},{2},{3},{7},ϕ}.
10) A={3,4,5,6},B={0,1,2} এবং R={(x,y):x∈A,y∈A এবং x−y=−1}.
ক) দেখাও যে, A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।
খ) P(A) নির্ণয় করে দেখাও যে, A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
গ) R কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং ডোম R ও রেঞ্জ R নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক) দেওয়া আছে,
A={3,4,5,6} এবং B={0,1,2}
এখন, A∩B \= ={3,4,5,6}∩{0,1,2}
={} অথবা ϕ
[যদি দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ কোন উপাদান বা সদস্য না থাকে,
তখন উহাদের সেট হবে ফাঁকা সেট বা নিশ্ছেদ সেট।]
∴A∩B={} অথবা ϕ
অর্থাৎ, A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।
(দেখানো হলো)
খ) দেওয়া আছে,
A={3,4,5,6}
A সেটের উপসেটগুলো হল, {3,4,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},
{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},{3},{4},{5},{6},ϕ
∴P(A)= {{3,4,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},{3,4},{3,5},{3,6},
{4,5},{4,6},{5,6},{3},{4},{5},{6},ϕ}
এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা =4
P(A) এর উপাদান সংখ্যা =16=24
A এর উপাদান সংখ্যা 4 হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 24.
সুতরাং A এর উপাদান সংখ্যা n হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2n.
(গ) দেওয়া আছে,
A={3,4,5,6},B={0,1,2} এবং R={(x,y):x∈A,y∈A এবং x−y=−1}.
A এর বর্ণিত শর্ত থেকে পাই,
x−y=−1
বা, −y=−1−x [পক্ষান্তর]
বা, −y=−(1+x)
বা, y=1+x [-1 দ্বারা গুণ করে]
এখন প্রত্যেক x∈A এর জন্য y=1+x এর মান নির্ণয় করিঃ
x 3 4 5 6
y 4 5 6 7
যেহেতু 7∉A, কাজেই (6,7)∉R
∴R={(3,4),(4,5),(5,6)}
∴ ডোম R={3,4,5} এবং রেঞ্জ R={4,5,6}.
11) U=(1,2,3,4,5,6,7)
A={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x⩽7}
B={x∈N:x জোড় সংখ্যা এবং x<7}.
ক) B কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) দেখাও যে, (A∪B)′=A′∩B′
গ) যদি A ও B এর মধ্যে y=x+1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে অন্বয়টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থকে পাই,
B={x∈N:x জোড় সংখ্যা এবং x<7}
আমরা জানি,স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3,……..}
এখন,
x=1 হলে, 1 জোড় সংখ্যা নয় এবং 1<7
x=2 হলে, 2 জোড় সংখ্যা এবং 2<7
x=3 হলে, 3 জোড় সংখ্যা নয় এবং 3<7
x=4 হলে, 4 জোড় সংখ্যা এবং 4<7
x=5 হলে, 5 জোড় সংখ্যা নয় এবং 5<7
x=6 হলে, 6 জোড় সংখ্যা এবং 6<7
x=7 হলে, 7 জোড় সংখ্যা নয় এবং 7≮7
∴B={2,4,6}
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
U={1,2,3,4,5,6,7}
A={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x⩽7}
মৌলিক সংখ্যাঃ ১ এর চেয়ে বড় যে সব সংখ্যার ১ ও সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোন গুণনীয়ক নেই, সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।
∴x=1, গ্রহণযোগ্য নয়।
x=2 হলে, 2 মৌলিক সংখ্যা এবং 2<7
x=3 হলে, 3 মৌলিক সংখ্যা এবং 3<7
x=4 হলে, 4 মৌলিক সংখ্যা নয় এবং 4<7
x=5 হলে, 5 মৌলিক সংখ্যা এবং 5<7
x=6 হলে, 6 মৌলিক সংখ্যা নয় এবং 6<7
x=7 হলে, 7 মৌলিক সংখ্যা এবং 7⩽7
∴A={2,3,5,7}
এবং ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,
B={2,4,6}
∴A∪B={2,3,5,7}∪{2,4,6}
={2,3,4,5,6,7}
আবার, A′=U−A
={1,2,3,4,5,6,7}−{2,3,5,7}
={1,4,6}
এবং, B′=U−B
={1,2,3,4,5,6,7}−{2,4,6}
={1,3,5,7}
এখন, বামপক্ষ =(A∪B)′
=U−(A∪B)
={1,2,3,4,5,6,7}−{2,3,4,5,6,7}
={1}
এবং ডানপক্ষ =A′∩B′
={1,4,6}∩{1,3,5,7}
={1}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অতএব, (A∪B)′=A′∩B′
( দেখানো হলো )
গ) ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত
A={2,3,5,7}
এবং ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,
B={2,4,6}
প্রশ্নানুসারে,
অন্বয়, R={(x,y):x∈A,y∈B এবং y=x+1}
এখানে, A×B={2,3,5,7}×{2,4,6}
={(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),
(7,4,)(7,6)}
∴R={(3,4),(5,6)}
অতএব, নির্ণেয় অন্বয়, R={(3,4),(5,6)}.
12) A={x:x∈N এবং x2−5x+6=0}
B={1,4}
C={a,4}
ক) A সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
খ) P(B∪C) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, P(B∪C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
গ) দেখাও যে, A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C).
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x:x∈N এবং x2−5x+6=0}
এখানে, x2−5x+6=0
বা, x2−2x−3x+6=0
বা, x(x−2)−3(x−2)=0
বা, (x−2)(x−3)=0
হয়, x−2=0 অথবা, x−3=0
বা, x=2 বা, x=3
∴ নির্ণেয় সেট, A={2,3}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
∴B∪C={1,4}∪{a,4}
={1,4,a}
(B∪C) এর উপসেটগুলো- {1,4,a},{1,4},{1,a},{4,a},{1},{4},{a},ϕ
অর্থাৎ,
P(B∪C)={{1,4,a},{1,4},{1,a},{4,a},{1},{4},{a},ϕ}
আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে উপসেটের সংখ্যা হবে 2n.
অর্থাৎ, উপাদান সংখ্যা 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান সংখ্যা 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
উপাদান সংখ্যা 3 হলে, উপসেট হবে 23=8
এখানে, (B∪C) সেটের উপাদান সংখ্যা 3 এবং এর উপসেটের সংখ্যা 8 টি অর্থাৎ, 23, যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(B∪C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। ( দেখানো হলো )
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={1,4} এবং C={a,4}
এবং ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,
A={2,3}
এখন, B∩C={1,4}∩{a,4}
=4
আবার, A×B={2,3}×{1,4}
={(2,1),(2,4),(3,1),(3,4)}
এবং A×C={2,3}×{a,4}
={(2,a),(2,4),(3,a),(3,4)}
∴ বামপক্ষ =A×(B∩C)
={2,3}×{4}
={(2,4),(3,4)}
এবং ডানপক্ষ =(A×B)∩(A×C)
={(2,1),(2,4),(3,1),(3,4)}∩{(2,a),(2,4),(3,a),(3,4)}
={(2,4),(3,4)}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
( দেখানো হলো )
13) মনে করি, U={x:x∈Z এবং x2<100}
A={x:x,6 এর গুণনীয়ক },
B={x∈N:x2−3x+2=0},
এবং C={x:x∈Z এবং $\boldsymbol{-1 ক) U এবং A কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) (A∪B)′=A′∩B′ এর সত্যতা যাচাই কর।
গ) P(C) নির্ণয় কর, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
U={x:x∈Z এবং x2<100}
আমরা জানি,
পূর্ণসংখ্যার সেট, Z={….−3,−2,−1,0,1,2,3….}
এখানে,
x=0 হলে, x2=02=1<100
x=±1 হলে, x2=(±1)2=1<100
x=±2 হলে, x2=(±2)2=4<100
x=±3 হলে, x2=(±3)2=9<100
x=±4 হলে, x2=(±4)2=16<100
…………………………………
…………………………………
x=±9 হলে, x2=(±9)2=81<100
x=±10 হলে, x2=(±10)2=100≮100
সুতরাং, U={0,±1,±2,±3,±4,±5±6,±7,±8,±9}
আবার, দেওয়া আছে,
A={x:x,6 এর গুণনীয়ক }
এখানে, 6 এর গুণনীয়কগুলো হলো 1,2,3,6
∴A={1,2,3,6}
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
B={x∈N:x2−3x+2=0}
এখন, x2−3x+2=0
বা, x2−2x−x+2=0
বা, x(x−2)−1(x−2)=0
বা, (x−2)(x−1)=0
হয়, x−2=0 অথবা, x−1=0
বা, x=2 বা, x=1
∴B={1,2}
এবং ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত,
A={1,2,3,6}
এবং U={0,±1,±2,±3,±4,±5±6,±7,±8,±9}
এখন, A′=U−A
={0,±1,±2,±3,±4,±5±6,±7,±8,±9}−{1,2,3,6}
={0,−1,−2,−3,±4,±5,−6,±7,±8,±9}
এবং B′=U−B
={0,±1,±2,±3,±4,±5±6,±7,±8,±9}−{1,2}
={0,−1,−2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,±9}
আবার, A∪B={1,2,3,6}∪{1,2}
={1,2,3,6}
এখন, বামপক্ষ =(A∪B)′
=U−(A∪B)
={0,±1,±2,±3,±4,±5±6,±7,±8,±9}−{1,2,3,6}
={0,−1,−2,−3,±4,±5,−6,±7,±8,±9}
এবং ডানপক্ষ =A′∩B′
={0,−1,−2,−3,±4,±5,−6,±7,±8,±9}
∩{0,−1,−2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,±9}
={0,−1,−2,−3,±4,±5,−6,±7,±8,±9}
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
C={x:x∈Z এবং $\boldsymbol{-1 আমরা জানি,
পূর্ণসংখ্যার সেট, Z={….−3,−2,−1,0,1,2,3….}
এখানে, −1 থেকে বড় এবং 4 থেকে ছোট পূর্ণসংখ্যার সেট, C={0,1,2,3}
C এর উপসেটগুলো হলো-
{0,1,2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1},{0,2}
{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0},{1},{2},{3},ϕ.
∴P(C)={{0,1,2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1},{0,2}
={0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0},{1},{2},{3},ϕ}.
আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, উপসেট সংখ্যা হবে 2n.
অর্থাৎ, উপাদান সংখ্যা 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান সংখ্যা 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
…………………………………
অনুরূপভাবে, উপাদান সংখ্যা 4 হলে, উপসেট হবে 24=16
এখানে, C সেটের উপাদান সংখ্যা 4 এবং এর উপসেটের সংখ্যা 16 অর্থাৎ, 24 যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে। (প্রমাণিত)
14) U={1,2,3,4,5,6,7}
A={x∈N:x3>25 এবং x4<625} এবং f(x)=4x−72x−4
ক) A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) f(x)+1f(x)−1 এর মান নির্ণয় কর।
গ) দেখাও যে, f(y)=x, যখন y=4x−72x−4
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={x∈N:x3>25 এবং x4<625} এবং f(x)=4x−72x−4
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,
N={1,2,3,……..}
এখানে, x=1 হলে, x3=13=1≯25 এবং x4=14=1<625
x=2 হলে, x3=23=8≯25 এবং x4=24=16<625
x=3 হলে, x3=33=27>25 এবং x4=34=81<625
x=4 হলে, x3=43=64>25 এবং x4=44=256<625
x=5 হলে, x3=53=125>25 এবং x4=54=625≮625
শর্তানুসারে, গ্রহণযোগ্য স্বাভাবিক সংখ্যাসমুহ 3,4.
∴A={3,4}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
f(x)=4x−72x−4
প্রদত্ত রাশি, f(x)+1f(x)−1
=4x−72x−7+14x−72x−7−1
=4x−7+2x−72x−74x−7−2x+72x−7
=6x−142x−72x2x−7
=6x−142x−7×2x−72x
=6x−142x
=2(3x−7)2x
=3x−7x
অতএব, নির্ণেয় মান 3x−7x .
গ) উদ্দীপক থেকে পাই,
f(x)=4x−72x−4
∴f(y)=4y−72y−4
=4×4x−72x−4−72×4x−72x−4−4
=16x−282x−4−78x−142x−4−4
=16x−28−14x+282x−48x−14−8x+162x−4
=2x2x−422x−4
=2x2x−4×2x−42
=2×2
=x
∴f(y)=x
( দেখানো হলো )
15) A={1,2,3,4,5} এবং B={1,4,5,8,9,10}.
ক) A−B এবং A∩B নির্ণয় কর।
খ) A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে y2=x যেখানে x∈B,y∈A হলে অন্বয় বর্ণনা কর।
গ) P(A∩B) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, P(A∩B) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={1,2,3,4,5}
এবং B={1,4,5,8,9,10}
এখন, A−B={1,2,3,4,5}−{1,4,5,8,9,10}
={2,3}
আবার, A∩B={1,2,3,4,5}∩{1,4,5,8,9,10}
={1,4,5}
অতএব, A−B={2,3},
এবং A∩B={1,4,5}.
খ) উদ্দীপক থেকে পাই,
A={1,2,3,4,5}
এবং B={1,4,5,8,9,10}
প্রশ্নানুসারে, অন্বয়, R={(x,y):x∈B,y∈A এবং y2=x বা, y=x−−√. কারণ, A এর সকল সদস্য ঋণাত্মক। প্রত্যেক x∈B এর জন্য y এর মান y=x−−√ মান নির্ণয় করি।
x 1 4 5 8 9 10
y 1 2 5−−√ 22−−√ 3 10−−√
5−−√,22−−√,10∉A কাজেই (5,5−−√),(8,22−−√),(10,10−−√)∉R.
∴R={(1,1),(4,2),(9,3)}.
অতএব, নির্ণেয় অন্বয়, R={(1,1),(4,2),(9,3)}.
গ) ‘ক’ হতে পাই,
A∩B={1,4,5}
∴A∩B এর উপসেটগুলো হলো- {1,4,5},{1,4},{1,5},{4,5},{1},{4},{5},ϕ
অর্থাৎ, P(A∩B)={{1,4,5},{1,4},{1,5},{4,5},{1},{4},{5},ϕ}
আমারা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, উপসেটের সংখ্যা হবে 2n.
অর্থাৎ, উপাদান 1 হলে, উপসেট হবে 21=2
উপাদান 2 হলে, উপসেট হবে 22=4
এবং উপাদান 3 হলে, উপসেট হবে 23=8
এখানে, (A∩B) সেটের উপাদান =3 এবং উপসেটের সংখ্যা 8 অর্থাৎ 23 যা 2n কে সমর্থন করে।
অতএব, P(A∩B) এর উপাদান সংখ্যা 2n কে সমর্থন করে।
(দেখানো হলো)
16) A={x∈Z:x2<9}
S={(x,y):x∈A,y∈A এবং x−y=1}
f(y)=y−1y+1
ক) অন্বয়ের ডোমেন ও রেঞ্জের সংজ্ঞা দাও।
খ) অন্বয় S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
গ) দেখাও যে, f(y)−f(1y)1+f(1y)=y−1.
[ সমাধান দেখি ]
17) f(y)=y3−3y2+1y(1−y)
ক) f(−1),f(−12) এর মান নির্ণয় কর।
খ) f(y2)=f(1y2) এর সত্যতা যাচাই কর।
গ) প্রমাণ যে, f(1y)=f(1−y)
সমাধানঃ
ক) উদ্দীপক অনুসারে,
f(y)=y3−3y2+1y(1−y)
∴f(−1)=(−1)3−3(−1)2+1(−1){1−(−1)}
=−1−3.1+1(−1)(1+1)
=−3−1×2
=32
আবার, f(−12)=(−12)3−3(−12)2+1(−12){1−(−12)}
=−18−3×14+1−12(1+12)
=−18−34+1−12(2+12)
=−1−6+88−12×32
=18×4−3
=1−6=−16
অতএব, f(−1) ও f(−12) এর নির্ণেয় মান, 32 ও −16.
খ) উদ্দীপক অনুসারে,
f(y)=y3−3y2+1y(1−y)
∴f(y2)=(y2)3−3(y2)2+1y2(1−y2)
=y6−3y4+1y2(1−y2) ———-(i)
আবার, f(1y2)=(1y2)3−3(1y2)2+11y2(1−1y2)
=1y6−3×1y4+11y2(y2−1y2)
=1−3y2+y6y61y2(y2−1y2)
=y6−3y2+1y6×y2×y2y2−1
=y6−3y2+1y2×1y2−1
=y6−3y2+1y2(y2−1) ———-(ii)
(i) নং ও (ii) থেকে দেখা যায় যে,
f(y2)≠f(1y2)
∴f(y2)=f(1y2) সত্য নয়।
( সত্যতা যাচাই করা হলো )
গ) উদ্দীপক অনুসারে,
f(y)=y3−3y2+1y(1−y)
∴f(1y)=(1y)3−3(1y)2+11y(1−1y)
=1y3−3y2+11y(1−1y)
=1−3y+y3y31y(y−1y)
=1−3y+y3y3×y2y−1
=1−3y+y3y(y−1)
আবার, f(1−y)=(1−y)3−3(1−y)2+1(1−y)(1−1+y)
=1−3y+3y2−y3−3(1−2y+y2)+1y(1−y)
=1−3y+3y2−y3−3+6y−3y2+1y(1−y)
=−1+3y−y3y(1−y)
=−(1−3y+y3)−y(y−1)
=1−3y+y3y(y−1)
∴∴f(1y)=f(1−y)
( প্রমাণিত )
18) 50 জন ক্যাডেটের মধ্যে 35 জন ক্রিকেট পছন্দ করে, 25 জন ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ই পছন্দ করে। প্রত্যেকেই কমপক্ষে
একটি খেলা পছন্দ করে।
ক) চিত্র ও উদাহরণসহ পূরক সেটের সংজ্ঞা দাও।
খ) কতজন ক্যাডেট ফুটবল পছন্দ করে।
গ) কতজন ক্যাডেট শুধুমাত্র ফুটবল খেলা পছন্দ করে।
সমাধানঃ
ক) A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A সেটের পূরক সেটকে Ac বা A′ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে Ac=U∖A অথবা U−A. এখানে, U= সার্বিক সেট।
উদাহরণঃ U={1,2,3,4,5,6} এবং A={2,4,6} হলে,
Ac=U∖A
={1,2,3,4,5,6}∖{2,4,6}
={1,3,5,7}.
খ) মনে করি,
ফুটবল পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা =n(F)
ক্রিকেট পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা =n(C)
উভয় খেলা পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা =n(F∩C)
এবং সকল ক্যাডেটের সংখ্যা n(F∪C).
প্রশ্নমতে,
n(F∪C)=50
n(F∩C)=25
n(C)=35
আমরা জানি,
n(F∪C)=n(F)+n(C)−n(F∩C)
বা, 50=n(F)+35−25
বা, 50−35+25=n(F)
বা, 75−35=n(F)
বা, 40=n(F)
∴n(F)=40
অতএব, ফুটবল পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা 40 জন।
গ) ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত,
ফুটবল পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা =40 জন।
ফুটবল ও ক্রিকেট পছন্দ করে এমন ক্যাডেটের সংখ্যা 25 জন
∴ শুধুমাত্র ফুটবল পছন্দ করে (40−25) জন =15 জন।
19) এখানে, A={x∈N:x2≥9 এবং x3≤130},B={x∈N:x মৌলিক সংখ্যা এবং x<7} এবং f(x)=x3−3×2+1x(1−x)
ক) R={(1,1),(−1,1),(0,1),(2,2)} ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর এবং ডোমেন বের কর।
খ) P(A∪B) নির্ণয় কর।
গ) দেখাও যে, f(1x)=f(1−x)
সমাধান
20) P={x:x∈N এবং x,52 এর গুণনীয়ক }
Q={x:x ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যা এবং x≤15}
এবং R={x:x পূর্ণসংখ্যা এবং x2<15}
ক) P এবং Q কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
খ) R কে তালিকা পদ্ধতিতে এবং P ও Q কে ভেনচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গ) P∩Q এবং (P∪Q)∩R নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক) আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N={1,2,3,……}
এবং 52=1×52=2×26=4×13
52 এর গুণনীয়কসমূহ 1,2,4,13,26,52
∴P={x:x∈N এবং x,52 এর গুণনীয়ক }
={1,2,4,13,26,52}.
Q={x:x ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যা এবং x≤15}
={1,3,5,7,9,11,13,15}.
খ) R={x:x পূর্ণসংখ্যা এবং x2<15}
আমরা জানি,
পূর্ণসংখ্যার সংখ্যার সেট, Z={…..−3,−2,−1,0,1,2,3,…..}
এখানে, x=0 হলে, x2=02=0<15
x=±1 হলে, x2=(±1)2=1<15
x=±2 হলে, x2=(±2)2=4<15
x=±3 হলে, x2=(±3)2=9<15
x=±4 হলে, x2=(±4)2=16≮15
∴R={−3,−2,−1,0,1,2,3}
গ) ‘ক’ ও ‘খ’ হতে প্রাপ্ত,
P={1,2,4,13,26,52},Q={1,3,5,7,9,11,13,15}
এবং R={−3,−2,−1,0,1,2,3}.
∴P∩Q={1,2,4,13,26,52}∩{1,3,5,7,9,11,13,15}
={1,13}
এবং P∪Q={1,2,4,13,26,52}∩{1,3,5,7,9,11,13,15}
={1,2,3,4,5,7,9,11,13,15,26,52}
∴(P∪Q)∩R={1,2,3,4,5,7,9,11,13,15,26,52}∩{−3,−2,−1,0,1,2,3}
={1,2,3}.
