Saturday, July 24, 2021
Homeগণিত টিপসগণিতের শর্টকাট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড । Mathematical shortcut technique

গণিতের শর্টকাট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড । Mathematical shortcut technique

বিসিএস প্রস্তুতি গণিতের শর্টকাট টেকনিক

পিডিএফ ডাউনলোড

১) এক সূত্রেই সব সমস্যার সমাধান!স্কুলের সাধারণ গণিতে ‘শ্রমিক ও কাজ’ নামক চ্যাপ্টারটা প্রায় সব ক্লাসেই থাকে। আবার বিশ্ববিদ্যালয়, বিসিএস ও ব্যাংক জবের পরীক্ষাগুলোতেও এই চ্যাপ্টারটা থাকেই। আমরা সাধারণত এসব অংক ঐকিক নিয়মে করি।

কিন্তু সমস্যা হলো এতে আমরা খুব সহজেই কনফিউজড হয়ে যাই কোনটা নিচে হবে আর কোনটা উপরে হবে।

আবার নৈর্ব্যক্তিক হলে তো সাধারণ নিয়মে করাটাই ভুল হবে, কারণ একটা নৈর্ব্যক্তিক পূরণের জন্য ৩৫-৪০ সেকেন্ড সময় থাকে। তাহলে, এ অল্প সময়ে খুব সহজেই এই চ্যাপ্টারের অংকগুলো কীভাবে করবো? চলো দেখে নেই একটা অসাধারণ ট্রিক-
এ ধরনের অংকে সাধারণত দুটি অংশ থাকে
১. সম্পূর্ণ পর্বে কাজ, শ্রমিক এবং সময়ের বিবরণ থাকে।
২. অসম্পূর্ণ পর্বে আরও একটা নতুন বিবরণ দেয়া থাকে কিন্তু যেকোন একটা ইনফরমেশন মিসিং থাকে এবং সেটা জানতে চাওয়া হয়।
একটা অংক করে বুঝে নিই-
২০ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে (সম্পূর্ণ পর্ব)।
এরকম ২টি কাজ ২৫ জন লোকের করতে কতদিন লাগবে? (অসম্পূর্ণ পর্ব)

  = ২৪ দিন

এ সমস্যাটা সমাধান করতে আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করবো।
  =  
সম্পূর্ণ পর্বটি সূত্রের প্রথম অংশে বসিয়ে দিবো, দ্বিতীয় অংশে অসম্পূর্ণ পর্বটি বসিয়ে দিবো। যেই ইনফরমেশনটি মিসিং থাকবে তার পুরো অংশটি বজ্রগুণন করে লাইনের নিচে নিয়ে আসবো, বাকিটা লাইনের উপরে বসিয়ে দিবো। এবার কাটাকাটি বা ভাগ করে উত্তর বের করে ফেলবো।
এই সূত্রের আরেকটা সুবিধা হলো শ্রমিকের জায়গায় তুমি চাইলেই মেশিন কিংবা বস্তু জাতীয় যেকোন কিছুকে বসাতে পারো যেগুলো শ্রমিকের মতো কাজ করতে পারে।
যেমন- ১৪টি পাম্প (শ্রমিকের ন্যায়) ৬ দিনে একটা ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে। ৪ দিনে ট্যাংকটি পূর্ণ করতে কয়টি অতিরিক্ত পাম্প লাগবে?
 = ২১টি
অতিরিক্ত পাম্প = (২১-১৪) = ৭টি
এ অংকটার প্রধান বিষয় হলো সঠিকভাবে ইনফরমেশনগুলো বসাতে পারা। বসাতে পারলে সব সমাধান ১ সূত্রেই করা যায়। এজন্য বিশেষ কিছু নির্দেশনা –
১. সময়ের জায়গায় যদি সময়ের একাধিক একক দেয়া থাকে তাহলে সব একক গুণ করে দিবে। যেমন- ১৪ জন লোক একটি কাজ প্রতিদিন ৬ ঘণ্টায় করে ১৬ দিনে একটা কাজ শেষ করে। এরকম হলে সময়ের জায়গায় (১৬×৬) বসিয়ে দাও।
২. কাজের জায়গায় যতটা কাজ ততটাই দিতে হয়। ১টা হলে ১, ৫টা হলে ৫ বসিয়ে দিবে। যদি কাজের মধ্যে ভগ্নাংশ থাকে, তাহলে ভগ্নাংশ আকারেই বসাতে হবে। যেমন- ১৫ জন শ্রমিক একটি পুকুরের ১/৪ অংশ খনন করে ৫ দিনে। ১২ জন শ্রমিকের ৪ টা পুকুর খনন করতে কতদিন লাগবে?
৩. নারী অথবা পুরুষ দেয়া থাকলে যেকোন একটাতে রূপান্তর করে নিতে হবে। যেমন – ৬ জন নারী অথবা ৪ জন পুরুষ একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৮ জন নারী এবং ৬ জন পুরুষের করতে কতদিন লাগবে ?
ধরো, আমি নারীতেই রূপান্তর করবো। ৪ জন পুরুষ = ৬ জন নারী হলে, ৬ জন পুরুষ = (৬/৪×৬) = ৯ জন নারী। এখন প্রথম অংশে ৪ জন পুরুষ অংশটি কেটে দিব। কারণ যেকোন একটা নিয়েই করতে হবে এবং আমি নারীর সংখ্যা দিয়েই করছি। দ্বিতীয় অংশে ৬ জন পুরুষ কেটে দিয়ে ৯ জন নারী লিখবো। ফলে মোট শ্রমিকের সংখ্যা হবে (৮+৯) = ১৭ জন। এবার অংকটা আগের নিয়মেই করবো।
৪. অনেক সময় কাজের জায়গায় সরাসরি কাজ শব্দটি থাকবে না। বুঝে নিতে হবে কোনটা কাজ। যেমন- একটি লোক একটি ৫৬ মিটার দেয়াল রং করতে পারে ৬ দিনে। এখানে ৫৬ মিটার হলো কাজ।
২) সিরিজ ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ………….., ৯৬ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি এবং গড় কত?
প্রশ্নটি খেয়াল করলে বুঝতে পারবে সিরিজটির প্রত্যেকটি সংখ্যার পার্থক্য সমান। সাধারণভাবে এই সিরিজটার সমষ্টি এবং গড় বের করা অনেক সময়ের ব্যাপার। এ ধরনের কোন সিরিজের সংখ্যাগুলোর পার্থক্য সমান হলে খুব সহজেই সমাধান করা যায়।
গড়- (১ম সংখ্যা+ শেষের সংখ্যা) /২
সমষ্টি- গড় × মোট সংখ্যা
এখানে গড়= (১২+৯৬)/২= ৫৪
সমষ্টি বের করার জন্য আগে আমাদের মোট সংখ্যা বের করতে হবে। সংখ্যাগুলোর পার্থক্য ৪, তাই মোট সংখ্যা হবে (৯৬/৪)-২= ২২, এখানে ২ বিয়োগ দেয়ার কারণ হলো ৪ এবং ৮ সংখ্যা দুইটা সিরিজে নেই।
সুতরাং সমষ্টি= (৫৪×১২) = ৬৪৮
৩) ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা
মৌলিক সংখ্যা হলো যেই সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না এবং যার দু’টি অনন্য উৎপাদক রয়েছে। ‘৪৪২২৩২২৩২১’ এই সিকুয়েন্সটা মনে রেখো। প্রথম ৪ এর মানে হলো ১-১০ এর মধ্যে ৪টি মৌলিক সংখ্যা আছে। এভাবে ১১-২০ এর মধ্যে ৪টি, ২১-৩০ এর মধ্যে ২টি, ৩১-৪০ এর মধ্যে ২টি এভাবে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা আছে।
আবার,
১-৫০ এ মোট ১৫টি
৫১-১০০ এ মোট ১০টি
৯০-১০০ এ মাত্র ১টি (৯৭)
একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ২
৪) ৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ নির্ণয় :
যেই সংখ্যাটির বর্গ নির্ণয় করবে সেটি যদি ৫০ এর বেশি হয় তাহলে যত বেশি হবে সেটা ২৫ এর সাথে যোগ করতে হবে, আর যদি কম হয় তাহলে যত কম হবে সেটা ২৫ থেকে বাদ দিতে হবে। ২৫ এর সাথে যোগ করে বা বাদ দিয়ে যেটা পাবে সেটা প্রথমে বসবে। আর ৫০ এর সাথে ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ শেষে বসবে। ব্যস, হয়ে গেল।
একটু খেয়াল করো,
৩০, ৩১ সংখ্যাগুলোর বর্গ ৩ অংকের।
৩২-৭০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গ ৪ অংকের।
যদি এই নিয়মে করলে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের হয় তাহলে বর্গের প্রথম অংকটা তার বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। আবার পার্থ্যক্যের বর্গ যদি ১০ থেকে ছোট হয় তবে আগে একটা শূন্য বসাতে হবে
অর্থাৎ ০১, ০২, ০৩, ০৪.. এভাবে লিখতে হবে। যেমন-
৫৫ এর বর্গ নির্ণয় করবে। তাহলে ৫৫, ৫০ থেকে ৫ বড়। তাই ৫ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে মোট ৩০ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ‘৫’ এর বর্গ ‘২৫’কে শেষে বসিয়ে দিলাম ।
সুতরাং ৫৫ এর বর্গ ৩০৫৫।
যদি ৬২ এর বর্গ নির্ণয় করতে হয়,
৬২ কিন্তু ৫০ থেকে ১২ বেশি, তাই ১২ কে ২৫ এর সাথে যোগ করে ৩৭ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আর পার্থক্যে ১২ এর বর্গ হবে ১৪৪। এখানে পার্থক্যের বর্গ ৩ অংকের, তাই বর্গের প্রথম অংককে (১) তার বামের (৭) অংকের সাথে যোগ করে ৮ পেলাম। সুতরাং ৬২ এর বর্গ ৩৮৪৪।
৫৩ এর বর্গ নির্ণয় করতে হলে,
২৫+৩ = ২৮ (প্রথম দুই অংক)। ৩ এর বর্গ ৯ এর জায়গায় ০৯ বসাতে হবে (শেষের দুই অংক)।
সুতরাং ৫৩ এর বর্গ ২৮০৯।
এবার ৫০ থেকে ছোট সংখ্যার একটি উদাহরণ দেই।
৪৩ এর বর্গ নির্ণয় করি-
৪৩, ৫০ থেকে ৭ ছোট তাই ৭ কে ২৫ থেকে বাদ দিয়ে ১৮ কে প্রথমে বসিয়ে দিলাম। আবার পার্থক্য ৭ এর বর্গ করে ৪৯ কে শেষে বসিয়ে দিলাম। সুতরাং ৪৩ এর বর্গ ১৮৪৯।
৫) ২০ থেকে ২৯ এর বর্গ নির্ণয়
যেই সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবে তার এককের ঘরের অংককে ঐ সংখ্যার সাথে যোগ করে ২ দিয়ে গুণ দিবে। আর এককের ঘরের বর্গকে শেষে বসিয়ে দিবে।
যেমন- ২৩ এর বর্গ নির্ণয় করবে। ২৩ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৩ কে যোগ করে পাই ২৬। আবার ২৬ কে ২ দিয়ে গুণ করে পাই ৫২। অবশেষে, এককের ঘরের অংক ৩ এর বর্গ ৯ কে শেষে বসিয়ে দিয়ে পাই ৫২৯।
সুতরাং ২৩ এর বর্গ ৫২৯।
ধরো, ২৬ এর বর্গ নির্ণয় করবে
২৬ এর সাথে এককের ঘরের অংক ৬ যোগ করে পাই ৩২। এবার ৩২ কে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় ৬৪। সবশেষে, এককের ঘরের অংক ৬ এর বর্গ ৩৬ কে শেষে বসিয়ে দিই।
খেয়াল করো, ২০-২৯ এর বর্গ তিন অংকের। যদি এককের ঘরের বর্গ ২ অংকের হয় তাহলে প্রথমের অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ হয়ে যাবে। তাই এখানে ৩৬ এর ৬ রেখে ৩ কে ৪ এর সাথে যোগ করে পাই (৪+৩) = ৭।
সুতরাং, ২৬ এর বর্গ ৬৭৬।
৬) দুই অংকের কোন সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে তার বর্গ নির্ণয়:
ব্যাপারটা খুবই সহজ। লক্ষ্য করো
১. প্রথম অংকের সাথে ১ যোগ করো।
২. তারপর সেটাকে প্রথম অংকের সাথে গুণ করো।
৩. শেষে ‘২৫’ বসিয়ে দাও।
এইতো হয়ে গেল। একটা উদাহরণ দেই, ধরো ৪৫ এর বর্গ বের করবে। এখানে, প্রথম অংক ৪, তার সাথে ১ যোগ করলে হয় ৫। এবার প্রথম অংক ৪ এর সাথে ৫ গুণ করলে হয় ২০, এবার সবশেষে ২৫ বসাও। তাহলে উত্তর হবে ২০২৫।
৭) ১১ দিয়ে যেকোন দুই অংকের সংখ্যাকে গুণ :
যেই সংখ্যাকে গুণ করবে সেই সংখ্যার দুই অংকের মধ্যখানে সংখ্যাটার অংকদ্বয়ের যোগফলটা বসিয়ে দিলেই পেয়ে যাবে উত্তর।
যেমন- ২৭×১১ =কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (২+৭)= ৯। এবার ‘৯’ কে অংকদ্বয়ের মাঝে বসিয়ে দাও,
২৯৭, এইতো হয়ে গেল!
তবে একটা ব্যাপার খেয়াল রাখতে হবে যে, অংকদ্বয়ের যোগফল যদি ১০ বা এর থেকে বড় হয় তাহলে যোগফলের শেষের অংকটা রেখে প্রথম অংকটা বামের অংকের সাথে যোগ করে দিবে।
যেমন- ৫৯×১১= কত?
অংকদ্বয়ের যোগফল (৯+৫)= ১৪। ৪ কে রেখে দিয়ে ১ কে ৫ এর সাথে যোগ করবো। তাহলে, উত্তর হবে ৬৪৯।
এভাবে ১১ দিয়ে যেকোন ২ অংকের সংখ্যাকে খুব সহজেই গুণ করে ফেলতে পারো।
৮) ‘পাই’ এর মান
‘পাই’ এর মান হলো- ৩.১৪১৫৯২৬
এটা অনেক বড় তাই মনে রাখতে অসুবিধা হয়ে যায় কিংবা ভুলে যাই। এটাকে খুব সহজে সবসময় মনে রাখার জন্য একটা কৌশল আছে। এই বাক্যটি মনে রাখো।
May I have a large Container of Coffee?
May (3) I (1) have (4) a (1) large (5) Container (9) of (2) Coffee (6)?
বাক্যটির প্রতিটা শব্দের বর্ণগুলোর সংখ্যা বসালেই পাই এর মান পেয়ে যাবে। ৩ এর পর দশমিক দিতে ভুলবে না।
৯) যেকোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা গুণ
যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করে (অর্ধেক করে) ১০ দ্বারা গুণ করবে।
যেমন-
৭৮×৫= কত?
(৭৮/২)×১০ = ৩৯×১০ = ৩৯০।
আরেকটি উদাহরণ দিই,
৩৫×৫ = কত?
(৩৫/২)×১০ = ১৭.৫×১০ = ১৭৫
১০) কোন সংখ্যাকে ২৫ দিয়ে গুণ
এটা মোটামুটি ৫ দিয়ে গুণ করার মতই। যেই সংখ্যাটিকে গুণ করবে সেটাকে ৪ দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ দিবে। যেমন-
৪৪×২৫= কত?
৪৪/৪= ১১,
১১×১০০ = ১১০০
MCQ প্রশ্ন এর অপশন দেখে সহজেই উওর বের করার অব্যার্থ টেকনিক। একই টেকনিক ব্যবহার করে শত শত সমস্যার সমাধান।
সরাসরি সংখ্যা নির্নয়,পিতা-পুত্রের বয়স নির্নয় করতে বললে এরকম অনেক সমস্যার সমাধান এই নিয়মে করা যায়।তবে অনুশীলন এর মাধ্যমে দ্রুত করার অভ্যাস করতে হবে।খুব অল্প দিনের মধ্যেই আপনি মুখে মুখেই অতি দ্রুত অনেক সমস্যার সমাধান করতে পারবেন।
সরল সমীকরনঃ ধরি,প্রশ্নটি
১।একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-ততীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশি,সংখ্যাটি কত?
ক। ৫২                              খ। ৮৪
গ। ১০২                   ঘ। ২০৮
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
৫২ এর অর্ধেক=৫২/২=২৬
৫২ এর এক-ততীয়াংশ=৫২/৩=১৭.৩৩
২৬-১৭.৩৩=৮.৬৭(১৭ হয় না)
কাজেই ক সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
৮৪ এর অর্ধেক=৮৪/২=৪২
৮৪ এর এক-ততীয়াংশ=৮৪/৩=২৮
৪২-২৮=১৪(১৭ হয় না)
কাজেই খ সঠিক নয়।
গ এর মান যাচাই
১০২ এর অর্ধেক=১০২/২=৫১
১০২ এর এক-ততীয়াংশ=১০২/৩=৩৪
৫১-৩৪=১৭(প্রশ্নের ১৭ এর সাথে মিলে গেছে)
কাজেই গ সঠিক উওর।
গ তে উওর পেয়ে গেছি তাই ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
২। একটি সাভাবিক সংখ্যার বর্গের ৯ গুনের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার সমান হয়।
ক.৭                        খ.৮
গ.৯                        ঘ.১০
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
১ম অংশ
৭ এর বর্গ=(৭)২=৪৯
সংখ্যাটির বর্গ+সংখ্যাটি=৪৯+৭
=৫৬
২য় অংশ
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটি = ৭+১=৮
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটির ৯ গুন = ৯*৮ = ৭২
১ম অংশ ও ২য় অংশ সমান নয়।
কাজেই ক সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
১ম অংশ
৮ এর বর্গ=(৮)২=৬৪
সংখ্যাটির বর্গ+সংখ্যাটি=৬৪+৮
= ৭২
২য় অংশ
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটি=৮+১=৯
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটির ৯ গুন=৯*৯=৮১
১ম অংশ ও ২য় অংশ সমান নয়।
কাজেই খ সঠিক নয়।
গ এর মান যাচাই
১ম অংশ
৯ এর বর্গ=(৯)২=৮১
সংখ্যাটির বর্গ+সংখ্যাটি=৮১+৯
=৯০
২য় অংশ
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটি=৯+১=১০
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যাটির ৯ গুন=৯*১০=৯০
১ম অংশ ও ২য় অংশ মিলে গেছে।
কাজেই গ সঠিক উওর।
গ তে উওর পেয়ে গেছি তাই ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
৩। কোন সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪২ যোগ করলে ফলাফল হবে সংখ্যাটির সমান।(৩১ তম বিসিএস)
ক। ৭০                                        খ। ৮০
গ। ৯০                              ঘ। ৭৫
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
৭০ এর ৪০%=(৪০/১০০)*৭০
=২৮
সংখ্যাটির ৪০%+৪২
=২৮+৪২=৭০(সংখ্যাটির সমান)
তাই ক সঠিক উওর।
ক তে উওর পেয়ে গেছি তাই খ,গ,ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
৪। একটি শ্রেণীতে যত জন বালক ছিল প্রত্যেকে তত টাকা চাঁদা দিলে ১০০ টাকা হয়। বালকের সংখ্যা কত?
ক। ১০                              খ। ১০০
গ। ২৫                              ঘ। ৩৫
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
বালকের সংখ্যা ১০ হলে প্রত্যেকে ১০ টাকা দিবে।
এক্ষেত্রে মোট টাকা=১০*১০
= ১০০
কাজেই ক সঠিক উওর।
ক তে উওর পেয়ে গেছি তাই খ,গ,ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
৫। মামুন ২৪০ টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে,যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ১ টাকা কম পড়ত।সে কতগুলো কলম কিনেছিলো?
ক। ১৩টি                            খ। ১৪টি
গ। ১৫টি                            ঘ। ১৬টি
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
১৩টি কলম কলম প্রতিটির দাম=২৪০/১৩=১৮.৪৬
একটি কলম বেশি পেলে প্রতিটির দাম=২৪০/(১৩+১)=২৪০/১৪=১৭.১৪
দামের ব্যবধান=১৮.৪৬-১৭.১৪=১.৩২(প্রশ্নে ১ টাকা কম হত)
কাজেই ক সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
১৩টি কলম কলম প্রতিটির দাম=২৪০/১৪=১৭.১৪
একটি কলম বেশি পেলে প্রতিটির দাম=২৪০/(১৪+১)=২৪০/১৫=১৬
দামের ব্যবধান=১৭.১৪-১৬=১.১৪(প্রশ্নে ১ টাকা কম হত)
কাজেই খ সঠিক নয়।
গ এর মান যাচাই
১৩টি কলম কলম প্রতিটির দাম=২৪০/১৫=১৬
একটি কলম বেশি পেলে প্রতিটির দাম=২৪০/(১৫+১)=২৪০/১৬=১৫
দামের ব্যবধান=১৬-১৫=১ (প্রশ্নে ১ টাকা কম হত এর সাথে মিলে গেছে)
কাজেই গ সঠিক উওর।
গ তে উওর পেয়ে গেছি তাই ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
৬। দুই অংক বিশিস্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি।সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন অপেক্ষা ৪ বেশি।সংখ্যাটি কত?
ক। ৪৭                              খ। ৩৬
গ। ২৫                     ঘ। ১৪
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
১ম শর্ত
এককের অংক=৭
দশকের অংক=৪
পার্থক্য=৭-৪=৩(প্রশ্নের সাথে ঠিক আছে)
২য় শর্ত
অংকদ্বয়ের সমস্টি=৪+৭=১০
অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন=৩*১০=৩০
সংখ্যাটি অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন অপেক্ষা বেশি=৪৭-৩০=১৭(প্রশ্নের ৪ সাথে মিলে নাই)
কাজেই ক সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
১ম শর্ত
এককের অংক=৬
দশকের অংক=৩
পার্থক্য=৬-৩=৩(প্রশ্নের সাথে ঠিক আছে)
২য় শর্ত
অংকদ্বয়ের সমস্টি=৩+৬=৯
অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন=৩*৯=২৭
সংখ্যাটি অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন অপেক্ষা বেশি=৩৬-২৭=৯(প্রশ্নের ৪ সাথে মিলে নাই)
কাজেই খ সঠিক নয়।
গ এর মান যাচাই
১ম শর্ত
এককের অংক=৫
দশকের অংক=২
পার্থক্য=৫-২=৩(প্রশ্নের সাথে ঠিক আছে)
২য় শর্ত
অংকদ্বয়ের সমস্টি=২+৫=৭
অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন=৩*৭=২১
সংখ্যাটি অংকদ্বয়ের সমস্টির ৩ গুন অপেক্ষা বেশি=২৫-২১=৪(প্রশ্নের ৪ সাথে মিলে গেছে)
কাজেই গ সঠিক উওর।
(অবশ্যই দুটি শর্তই মিলতে হবে)
গ তে উওর পেয়ে গেছি তাই ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
৭। এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়।তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুন।৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ হলে বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স কত?
ক। ৬৫ বছর                        খ। ২৮ বছর
গ। ৩৩ বছর                        ঘ। ৫৩ বছর
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
বর্তমান ছেলের বয়স=১২-৫=৭
তাহলে স্ত্রীর বয়স=৪*৭=২৮
বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স স্ত্রীর বয়সের পার্থক্য=৬৫-২৮=৩৭
(প্রশ্নের ৫ সাথে মিলে নাই)
কাজেই ক সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
বর্তমান ছেলের বয়স=১২-৫=৭
তাহলে স্ত্রীর বয়স=৪*৭=২৮
বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স স্ত্রীর বয়সের পার্থক্য=২৮-২৮=০
(প্রশ্নের ৫ সাথে মিলে নাই)
কাজেই খ সঠিক নয়।
খ এর মান যাচাই
বর্তমান ছেলের বয়স=১২-৫=৭
তাহলে স্ত্রীর বয়স=৪*৭=২৮
বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স স্ত্রীর বয়সের পার্থক্য=৩৩-২৮=৫
(প্রশ্নের ৫ সাথে মিলে গেছে)
কাজেই গ সঠিক উওর।
গ তে উওর পেয়ে গেছি তাই ঘ যাচাই এর দরকার নাই।
অনুশীলনঃ
১। দুটি সংখ্যার বিয়োগফল ৩৭ এবং যোগফল বিয়োগফল ১১ গুণ। সংখ্যা দুটি কত?
ক। ২০,৫৭               খ। ১৯,৫৬
গ। ১৮৫,২২২            ঘ। ১৭০,২০৭
২। যদি দুটি সংখ্যার গুণফল৯৬এবং সংখ্যা দুটির যোগফল ২২ হয় তবে ছোট সংখ্যাটি কত?
ক। ৪                      খ। ৬
গ। ৮                       ঘ। কোনটিই নয়
৩। দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটির ৩ গুণ হয়।সংখ্যাটি কত?
ক। ১২                     খ। ১৪
গ। ২৪                     ঘ। ২৮
৪।একটি বই এর মূল্য একটি কলমের মূল্য অপেক্ষা ৭ টাকা কম এবং উক্ত বই এবং কলমের মোট ক্রয়মূল্য ৪৩ টাকা হলে বইটির মূল্য কত?
ক। ২৫                              খ। ২০
গ। ২২                     ঘ। ১৮
৫।দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার মান ৫৪ যদি অঙ্কদুইটি বিপরীতভাবে লেখা হয়।অঙ্ক দুটির যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?
ক। ৪৮                              খ। ৮৪
গ। ৩৯                     ঘ। ৯৩
৬।পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ।৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল।পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
ক। ৫৬বছর এবং ১৪ বছর       খ। ৩২বছর এবং ৭ বছর
গ। ৩৬বছর এবং ৯ বছর         ঘ। ৪০বছর এবং ১০ বছর
৭।একটি তেলপূর্ণ পাত্রের ওজন ৩২ কেজি এবং অর্ধেক তেলসহ পাত্রর ওজন ২০ কেজি।পাত্রটির ওজন কত?
ক। ৮ কেজি               খ। ১০ কেজি
গ। ১২ কেজি             ঘ। ৬ কেজি
৮।একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা।কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো।বইটির মূল্য কত?
ক। ৪৯ টাকা              খ। ৪৬ টাকা
গ। ৫০ টাকা              ঘ। ৪০ টাকা
ঙ। কোনটিই নয়।
উওরমালাঃ ১।গ ২।খ ৩।খ ৪।ঘ ৫।গ ৬।গ ৭।ক ৮।খ
বি.দ্রঃ বয়সের পার্থক্য বা বয়সের পার্থক্য , বয়সের অন্তর, সংখ্যার অন্তর, সংখ্যার সমষ্টি ইত্যাদি নির্ণয় করতে বললে এই নিয়ম প্রযোজ্য হবে না।এসব সমস্যা সমাধানের সহজ পদ্বতি শীঘ্রই প্রকাশ করা হবে।
বর্গমূল ও বর্গাকারে সাজানো অতি সহজেই MCQ এর উওর
১।৪২২৫ এর বর্গমূল কত?
ক। ৬৪                              খ। ৬৬
গ। ৬৫                     ঘ। ৬৭
সমাধানঃ
ক এর ক্ষেত্রে
৬৪ এর বর্গ=৬৪*৬৪=৪০৯৬
খ এর ক্ষেত্রে
৬৬ এর বর্গ=৬৬*৬৬=৪৩৫৬
গ এর ক্ষেত্রে
৬৫ এর বর্গ=৬৫*৬৫=৪২২৫
( গ এর বর্গ মিলে গেছে)
কাজেই সঠিক উওর গ।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আর ও সহজে করা যায়।
২।০.০০৪৯ এর বর্গমূল কত?
ক। ০.০০০৭             খ। ০.০০৭
গ। ০.০৭                  ঘ। ০.৭
সমাধানঃ
দশমিকের বর্গমূল এর ক্ষেত্রে দশমিকের পরের অংশ নিয়ে(শূন্য গুলো বাদে) তার বর্গমূল করি।যেমন-০.০০৪৯ এর ক্ষেত্রে ৪৯ এর বর্গমূল ৭।এখন লক্ষ্য করি ০.০০৪৯ এ দশমিকের পর ৪ অঙ্ক আছে।০.০০৪৯ বর্গমূলে দশমিকের পরে ৪ এর অর্ধেক অর্থাৎ ২ অঙ্ক থাকবে। লক্ষ্য করি গ এর উওর ০.০৭ এ দশমিকের পরে ২ অঙ্ক(০ ও ৭)আছে।
কাজেই সঠিক উওর গ।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আর ও সহজে করা যায়।
৩।৬৪০০ জন সৈন্যকে বর্গাকারে সাজালে প্রত্যেক সারিতে কতজন থাকবে।
ক। ৮১জন                খ। ৮১জন
গ। ৮২জন                ঘ। ৬৪জন
সমাধানঃ
ক এর ক্ষেত্রে
৮১ এর বর্গ=৮১*৮১=৬৫৬১
খ এর ক্ষেত্রে
৮০ এর বর্গ=৮০*৮০=৬৪০০
( খ এর বর্গ মিলে গেছে)
কাজেই সঠিক উওর খ ।
ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আর ও সহজে করা যায়।
৪।৬৪৬৪ জন সৈন্যকে বর্গাকারে সাজালে কতজন অবশিষ্ট থাকবে?
ক। ৭৮জন                খ। ৫৬জন
গ। ৬০জন                ঘ। ৬৪জন
সমাধানঃ
৬৪৬৪ কে ক্যালকুলেটরে বর্গমূল করি।
৬৪৬৪ এর বর্গমূল=৮০.৩৪২
দশমিকের আগের অংশ ৮০ নেই।
৮০ এর বর্গ =৮০*৮০=৬৪০০।
৬৪৬৪-৬৪০০=৬৪
সঠিক উওর ঘ।
৫। ৬৪৬৪ জন সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে আরো কতজন সৈন্য লাগবে?
ক। ৫৬জন                খ। ৭৮জন
গ। ৯৭জন                ঘ। ৬৪জন
সমাধানঃ
৬৪৬৪ কে ক্যালকুলেটরে বর্গমূল করি।
৬৪৬৪ এর বর্গমূল=৮০.৩৪২
দশমিকের আগের অংশ ৮০ নেই।৮০ এর সাথে ১ যোগ করি=৮০+১=৮১।
৮১ এর বর্গ =৮১*৮১=৬৫৬১
৬৫৬১-৬৪৬৪=৯৭
সঠিক উওর গ।
ভগ্নাংশ অতি সহজেই MCQ এর উওর
ভগ্নাংশ=লব/হর
যেমনঃ৩/৪
প্রকৃত ভগ্নাংশঃলব বড় ও হর ছোট। যেমনঃ৩/৪
অপ্রকৃত ভগ্নাংশঃলব ছোট ও হর বড়। যেমনঃ৪/৩
দশমিক ভগ্নাংশঃযেমন-১.৫৬৪
সসীম দশমিক=২.৫৬৪(দশমিক এর পর নিদিষ্ট সংখ্যক অঙ্ক।এক্ষেত্রে ৫,৬,৪।৩ টি অঙ্ক)
অসীম দশমিক=১.৭৩……(দশমিক এর পর অসীম সংখ্যক অঙ্ক)
পূনঃপৌনিক দশমিক=১.১৪১৪(দশমিক এর পর একই অঙ্ক বার বার আসবে)
মিশ্র ভগ্নাংশঃ৪(২/৩)
সাধারণ ভগ্নাংশ থেকে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তরঃ লবকে হর দ্বারা ভাগ করতে হবে।যেমন-১/২ এর দশমিক ভগ্নাংশ ০.৫।
দশমিক ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরঃদশমিকের ডান পাশের সংখ্যা(কমপক্ষে দুইটি।যেমন-.৫ থাকলে .৫০ ধরতে হবে) ভাগ ১০০(এক্ষেত্রে দশমিকের পর দুইটি অঙ্ক ৫,০ আছে। তাই ১ এর পর দুইটি শূন্য দিয়ে ভাগ দিতে হবে) ।০.৫ দশমিক ভগ্নাংশের সাধারণ ভগ্নাংশ ৫০/১০০।কাটাকাটি করলে হয় ১/২।
ভগ্নাংশের ল.সা.গু এবং গ.সা.গুঃ
ভগ্নাংশের ল.সা.গু =ভগ্নাংশের লবগুলোর ল.সা.গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর গ.সা.গু
ভগ্নাংশের গ.সা.গু=ভগ্নাংশের লবগুলোর গ.সা.গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর ল.সা.গু
১। ৩/৪,২১/১২,৬/৪ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?
ক। ১/১২                  খ। ১/৩
গ। ২/২১                  ঘ। ২১/২
সমাধানঃ
ভগ্নাংশের গ.সা.গু=ভগ্নাংশের লবগুলোর গ.সা.গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর ল.সা.গু
লবগুলোর অথাৎ ৩,২১,৬ গ.সা.গু=৩
হরগুলোর অথাৎ ৪,১২,৬ ল.সা.গু=১২
ভগ্নাংশের গ.সা.গু=৩/১২=১/৩(কাটাকাটি করে)
সঠিক উওর খ।
২।৩/৪,২১/১২,৭/২ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
ক। ২১/২                 খ। ১/১২
গ। ২/২১                  ঘ। ৪/২১
সমাধানঃ
ভগ্নাংশের ল.সা.গু =ভগ্নাংশের লবগুলোর ল.সা.গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর গ.সা.গু
লবগুলোর অথাৎ ৩,২১,৭ ল.সা.গু=২১
হরগুলোর অথাৎ ৪,১২,২ গ.সা.গু=২
ভগ্নাংশের ল.সা.গু=২১/২
সঠিক উওর ক।
৩।নীচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?
ক.৩/৭                              খ.২/৫
গ.৪/৯                     ঘ.১/৩
সমাধানঃ
১.হর গুলো গুন করুন।
২.প্রাপ্ত গুনফল দিয়ে প্রতেক ভগ্নাংশকে গুন করুন।
যে ফলাফলটি বড় হবে সেটিই বড় ভগ্নাংশ।
যে ফলাফলটি ছোট হবে সেটিই ছোট ভগ্নাংশ।
৭*৫*৯*৩=৯৪৫
ক। ৩/৭*৯৪৫=৪০৫
খ। ২/৫*৯৪৫=৩৭৮
গ। ৪/৯*৯৪৫=৪২০
ঘ। ১/৩*৯৪৫=৩১৫
কাজেই ক সঠিক উওর।
৪। নীচের কোন ভগ্নাংশটি ছোট?
ক. ৩/৭                             খ. ২/৫
গ. ৪/৯                             ঘ. ১/৩
সমাধানঃ
১. হর গুলো গুন করুন।
২. প্রাপ্ত গুনফল দিয়ে প্রতেক ভগ্নাংশকে গুন করুন।
যে ফলাফলটি বড় হবে সেটিই বড় ভগ্নাংশ।
যে ফলাফলটি ছোট হবে সেটিই ছোট ভগ্নাংশ।
৭*৫*৯*৩=৯৪৫
ক।৩/৭*৯৪৫=৪০৫
খ।২/৫*৯৪৫=৩৭৮
গ।৪/৯*৯৪৫=৪২০
ঘ।১/৩*৯৪৫=৩১৫
কাজেই ঘ সঠিক উওর।
৫।০.৪৭৩ কে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করলে কত হবে?
ক। ৪৭/৯০৯                       খ। ৪৩/৯৯০
গ। ৪৭৩/১০০০                   ঘ। ৪৭/৯৯৯
সমাধানঃ
দশমিকের পরের অংশ/১০০০( এক্ষেত্রে দশমিকের পর তিনটি অঙ্ক ৪,৭,৩ আছে। তাই ১ এর পর তিনটি শূন্য দিয়ে ভাগ দিতে হবে)
=৪৭৩/১০০০
সঠিক উওর গ।
শতকরা অংক শিখুন সহজে .
শতকরা কি?
ধরুন আপনার কাছে ২০০ টাকা আছে যার ৫০% আপনার ভাইকে এবং ৫০% আপনার বোনকে দিলেন, তাহলে আপনার ভাই ও বোন প্রত্যেকে ১০০ টাকা করে পাবে। কিন্তু যদি এভাবে বলে যে আপনার ভাইকে ৫০% টাকা দেয়ার পর অবশিষ্টের ৫০% আপনার বোনকে দিলেন তাহলে প্রথমে ভাইকে ৫০% অর্থাৎ ১০০ টাকা দেয়ার পর যে ১০০ টাকা থাকবে তার ৫০% অর্থাৎ ৫০ টাকা আপনার বোন পাবে।
নোট: সাধারণ শতকরা আর অবশিষ্টের শতকরা এক বিষয় না (অনেকেই ভুল করেন)
ইংরেজীতে Reminder অথবা Rest শব্দ দুটি ভালোভাবে বুঝে করতে হবে।
শতকরা বের করতে বললে
৮০ এর ২০% = কত? সরাসরি ৮০*২০/১০০ = ১৬ সবাই জানি।
কিন্তু ১৬ কোন সংখ্যার ২০%?
তখন অনেকে এক্স ধরে করেন । কিন্তু তাতে মাথা সরাসরি কাজ করে না। মুখে মুখে করতে চাইলে এভাবে ভাবুন: ৮০ এর ২০% যদি ১৬ হয় তাহলে সংখ্যাটি ১০০% ছিল তাই লেখা যায় ২০% = ১৬, ১% = ১৬/২০ সুতরাং ১০০% = ১০০*১৬/২০ = ৮০
আবার একলাইনে করতে চাইলে এভাবে লিখুন ১৬*১০০/২০ = ৮০
কয়েকটি নিজে চেষ্টা করুন
(খুব খুবই গুরুত্বপূর্ণ নোট:) যে কোন প্রশ্ন % বাদে কোন সংখ্যা দেয়া থাকলে এবং সেই সংখ্যাটি কত % এর মান তা বের করতে পারলে এবং মুল সংখ্যাটির মান বের করার জন্য প্রশ্নে প্রদত্ত মানটি লিখে যে % টি দেয়া থাকবে তা উল্টিয়ে লিখতে হবে যেমন: ৩৬ কোন সংখ্যার ৪০% ? তখন ৩৬*১০০/৪০ = ৯০ এর।
দুবার শতকরা আসলেও একই নিযমটি দুবার প্রয়োগ করতে হবে:
শতকরার শতকরা সরাসরি বের করা শিখুন, প্রথমে
৮০ টাকার ২০% এর ২৫% এর মান কত। সরাসরি ৮০ এর ২০% এর ২৫% বা ৮০*২০/১০০*২৫/১০০ = ৪ (এভাবে সবাই পারেন)
কিন্তু বিপরীত দিক থেকে আসলে অনেকে পারেনই না.. পারলেও এক্স ধরে করতে অনেক সময় লাগে। কিন্তু দ্রুত উত্তর বের করার জন্য উপরের উল্টানোর নিয়মটিই দুবার প্রয়োগ করতে হবে।
যেমন: ৪ কোন সংখ্যার ২০% এর ২৫% এর মান হলে সংখ্যাটি কত?
লিখুন এভাবে ৪*১০০/২৫ *১০০/২০ (উল্টানো অর্থ সবসময় উপরে ১০০) কাটাকাটি করলে ৮০ ই আসবে।
এই নিয়মেরই অংক:
1.‪ ‎If 18 is 15% of 30% of a creation number, what is the number? (pubali bank-2011)
সমাধান: এক লাইনে ১৮*১০০/১৫ * ১০০/ ৩০ = ৪০০ (কিন্তু উল্টাতে গিয়ে নিজেই উল্টে যাইয়েন না আবার)
২. কোন বিশ্ববিদ্যালয়ে ৮০% শিক্ষার্থী আবাসিক হলে অবস্থান করে এবং হলের সৌভাগ্যবান ৬০% শিক্ষার্থী একক কক্ষ পায়। যদি সৌভাগ্যবান শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১২০০ জন হয় তবে ঐ বিশ্ববিদ্যালয়ে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত ?
সমাধান: ১২০০*১০০/৬০ * ১০০/৮০ = ২৫০০ (কারণ শেষের ১২০০ হল ৬০% এর মান)
আবার লাভক্ষতি অধ্যায়ে কখনো ক্রয়মূল্য বের করতে বললে ১০০% এর মান বের করতে হয়। তখন উল্টাতে হয়। কিন্তু তার আগে প্রশ্নে যে সংখ্যাটি দেয়া থাকবে তা কত % এর মান তা বের করতে পারাই আসল।
দেখুন:
A customer pays Tk. 375 in VAT on a newly purchased watch. What is the value of the watch if VAT is 15% of the cost price?- (ইসলামী ব্যাংক প্রবেশনারী অফিসার ২০০৭) a.2000 b. 2500 c. 3000 d. 3200
ব্যাখ্যা: মোট ভ্যাট ৩৭৫ টাকা যা ১৫% এর মান (কারণ ভ্যাট ১৫%) তাহলে ক্রয়মূল্য বের করার জন্য ৩৭৫*১০০/১৫ = ২৫০০ কয়েক সেকেন্ডেই হবে)
প্রশ্ন: একজন পাইকারী দোকানদার একটি পণ্যের লিখিত মুল্যের উপর ১০% ছাড়ে পণ্যটি বিক্রি করে আবার খুচরা বিক্রেতা ঐ পণ্যটি ১৫% ক্ষতিতে ৩০৬ টাকায় বিক্রি করলে পণ্যটির লিখিত মূল্য কত ছিল?
ব্যাখ্যা: সবার শেষে ১৫% ক্ষতিতে ৩০৬ টাকায় বিক্রি হয়েছে তাই ৩০৬ টা হলো ৮৫% এর মান: আবার ১০% ছাড় দেয়ায় খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য টি ছিল লিখিত মূল্যের ৯০% এর মান। তাই এক লাইনে করতে এভাবে লিখুন: ৩০৬*১০০/৮৫ * ১০০/৯০ = ৪০০। (আলাদা ভাবে করলে অথবা এক্স ধরে করলেই কিন্তু একই উত্তর আসবে কিন্তু ততক্ষণে পরীক্ষক আপনার খাতা নিয়ে নিবে।)
প্রশ্ন: Ratan sells a tape-recorder to Mizan at a loss of 10% and Mizan sells it to Shihab at a loss of 20%. If Shihab pays Tk. 1440 for it, at what price did Ratan buy? (Social Islami Bank Ltd. Probationary officer 2011)
‪Solution: 1440*100/80 * 100/90 = 2000 (Why?? think urselves)
প্রশ্ন: এক ঝুড়ি আম ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হল। বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হতো। এক ঝুড়ি আমের দাম কত? (ইসলামী ব্যাংকের সহ: অফি: গ্রেড-৩ পরীক্ষা -২০০৫)
ব্যাখ্যা: ১০% ক্ষতি পুষিয়ে ৫% লাভ করতে হলে মাঝের ব্যবধান ১০+৫ = ১৫% যার মান ৪৫ তাহলে ক্রয়মূল্য বের করতে হলে ৪৫*১০০/১৫ = ৩০০টাকা।
প্রশ্ন: A pen was sold at 15% loss. If the selling price was Tk.8 more, then the seller could have made a profit of 10%. What was the purchase price of the pen? ( Pubali Bank Ltd. Senior. Off./Officer-2011) 32tk
ব্যাখ্যা: (এখানে ২৫% = ৮, ২৫% এর মান যতই হোক ১০০% এর মান তার থেকে ৪গুণ বেশি হবে।)
শতকরা হচ্ছে ১০০ এর মধ্যে কত।
শতকরা = (ছোট সংখ্যা /বড় সংখ্যা)*১০০
৭% =৭/১০০
২৫%=২৫/১০০=১/৪(কাটাকাটি করে)
১/২ ভগ্নাংশকে শতকরায় প্রকাশ=(১/২)*১০০
= ৫০%
১। ১/৫ কে শতকরায় প্রকাশ করলে হয়-
ক। ২৫%                           খ। ২০%
গ। ৫%                                       ঘ। ১%
সমাধানঃ
শতকরা=(১/৫)*১০০
=২০%
সঠিক উওর খ।
২। ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে ফেলের হার কত?
ক। ৬০%                           খ। ৭০%
গ। ৮০%                            ঘ। ৯০%
সমাধানঃ
শতকরা=(ছোট সংখ্যা /বড় সংখ্যা)*১০০
=(৪২/৬০)*১০০
=৭০
সঠিক উওর খ।
৩। ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাসের হার কত?
ক। ২৫%                           খ। ২৮%
গ। ৩০%                            ঘ। ৩২%
সমাধানঃ
৬০ জনে পাশ=৬০-৪২=১৮
শতকরা=(ছোট সংখ্যা /বড় সংখ্যা)*১০০
= (১৮/৬০)*১০০
= ৩০
সঠিক উওর গ।
৪। যদি তেলের মূল্য শতকরা ২৫% বদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে,তেল বাবদ খরচ বদ্ধি পাবে না।
ক। ২০%                           খ। ১৬%
গ। ১১%                            ঘ। ৯%
সমাধানঃ
২৫% বদ্ধি পাওয়ায় আগে তেলের দাম ১০০ টাকা হলে বর্তমান তেলের দাম=১০০+২৫=১২৫ টাকা
খরচ আগের সমান রাখতে হলে ১২৫ টাকা থেকে ২৫ টাকা খরচ কমাতে হবে(তাহলে খরচ ১০০ থাকবে)।
শতকরা কমাতে হবে=(২৫/১২৫)*১০০
= ২০
সঠিক উওর ক।
৫। ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা শতকরা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন ক এর বেতন অপেক্ষা কত টাকা কম?
ক। ২৭টাকা                         খ। ২৫.৯৩টাকা
গ। ৪০টাকা                         খ। ২৫.৫০টাকা
সমাধানঃ
ক এর বেতন খ এর বেতন ১০০ হলে তার চেয়ে ৩৫ টাকা বেশি।অথাৎ ক এর বেতন তখন ১০০+৩৫=১৩৫ টাকা।
খ এর বেতন কম ১৩৫ এর মধ্যে ৩৫ টাকা।
শতকরা বেতন কম=(৩৫/১৩৫)*১০০
=২৫.৯৩টাকা
সঠিক উওর খ।
৬। ৪৮ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৬০%?
ক। ৫০                                        খ। ৬০
গ। ৭০                              ঘ। ৮০
সমাধানঃ
শতকরা=(ছোট সংখ্যা /বড় সংখ্যা)*১০০
বা,৬০=(৪৮/ বড় সংখ্যা)*১০০
বা,৬০/১০০=৪৮/ বড় সংখ্যা
বা, (৬০/১০০)* সংখ্যা ২=৪৮
বা,৬০* বড় সংখ্যা =৪৮*১০০
বা, বড় সংখ্যা =৪৮০০/৬০
= ৮০
সঠিক উওর ঘ।
লাভ-ক্ষতি অতি সহজেই MCQ এর উওর
সূত্রঃ
লাভ=বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য
ক্ষতি= ক্রয়মূল্য- বিক্রয়মূল্য
শতকরা লাভ= {(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০
শতকরা লাভ= (লাভ/ক্রয়মূল্য)*১০০
শতকরা ক্ষতি= (ক্ষতি/ক্রয়মূল্য)*১০০
 ১। টাকায় ৩টি লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?
ক। ৫০%                  খ। ৩০%
গ। ৩৩%                  ঘ। ৩১%
সমাধানঃ
৩ টি লেবুর ক্রয়মূল্য =১ টাকা
১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য =১/৩ টাকা
আবার,
২ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য=১ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য=১/২ টাকা
শতকরা লাভ= {(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০
={(১/২-১/৩)১/৩}*১০০
=৫০
সঠিক উওর ক।
২। একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো।ক্ষতির শতকরা হার কত?
ক। ৪%                    খ। ৬%
গ। ৫%                              ঘ। ৭%
সমাধানঃ
২০ টাকা ক্ষতি হওয়ায় ক্রয়মূল্য ৩৮০+২০=৪০০টাকা
শতকরা ক্ষতি=(ক্ষতি/ ক্রয়মূল্য)*১০০
= (২০/৪০০)*১০০
= ৫
সঠিক উওর গ।
৩। ২০টাকায় ১২টি আমড়া কিনে প্রতিটি ২ টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
ক। ১২%                  খ। ১৫%
গ। ২০%                  ঘ। ১০%
সমাধানঃ
১ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য ২ টাকা
১২ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য ১২*২ টাকা
=২৪ টাকা
শতকরা লাভ= {(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০
={(২৪-২০)/২০}*১০০
=২০
সঠিক উওর গ।
৪। ৪০ টাকায় ১০টি কলা কিনে ২৫% লাভে বিক্রি করলে ১ টি কলা কত টাকায় বিক্রি করতে হবে?
ক। ৮ টাকা                খ। ৭ টাকা
গ। ৬ টাকা                ঘ। ৫ টাকা
সমাধানঃ
১০ টি কলা কিনে ৪০ টাকায়
১ টি কলা কিনে(৪০/১০)টাকায়
=৪ টাকায়
শতকরা লাভ= {(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০
বা,{(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০= শতকরা লাভ
বা,বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য= (ক্রয়মূল্য* শতকরা লাভ)/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-৪=(৪*২৫)/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-৪=১০০/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-৪=১
বা,বিক্রয়মূল্য=৪+১
বা,বিক্রয়মূল্য=৫
সঠিক উওর ঘ।
৫। প্রতি ডজন কমলা ৭৫ টাকায় কিনে প্রতি হালি কত টাকায় বিক্রি করলে ২০% লাভ হবে।
ক। ৩০ টাকা              খ। ২৫ টাকা
গ। ২৭.৫০ টাকা         ঘ। ২৮ টাকা
সমাধানঃ
১ ডজন=৩ হালি
৩ হালি কমলা কিনে ৭৫ টাকায়
১ হালি কমলা কিনে (৭৫/৩) টাকায়
=২৫ টাকায়
শতকরা লাভ= {(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০
বা,{(বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য)/ক্রয়মূল্য}*১০০= শতকরা লাভ
বা,বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য= (ক্রয়মূল্য* শতকরা লাভ)/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-২৫=(২৫*২০)/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-২৫=৫০০/১০০
বা,বিক্রয়মূল্য-২৫=৫
বা,বিক্রয়মূল্য=২৫+৫
বা,বিক্রয়মূল্য=৩০
সঠিক উওর ক।
৬। একখানা গাড়ির বিক্রয়মূল্য তার ক্রয়মূল্যের ৪/৫ অংশের সমান।শতকরা লাভ বা ক্ষতির হার কত?
ক। ক্ষতি ২০%                     খ। লাভ ২০%
গ। লাভ ২৫%                     ঘ। ক্ষতি ২৫%
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য ১ হলে বিক্রয়মূল্য ৪/৫ ।১ এর চেয়ে ৪/৫ ছোট।তাই ক্ষতি হবে।
ক্ষতি= ক্রয়মূল্য- বিক্রয়মূল্য
=১-(৪/৫)
=১/৫
শতকরা ক্ষতি= (ক্ষতি/ক্রয়মূল্য)*১০০
={(১/৫)/১}*১০০
=২০
সঠিক উওর ক।
ঐকিক নিয়ম সহজেই উওর
১ টি কলমের দাম ৫ টাকা হলে ১০ টি কলমের দাম অবশ্যই বেশি হবে । বেশি হলে গুণ হবে।
১ টি কলমের দাম ৫ টাকা
১০ টি কলমের দাম (৫*১০) টাকা
=৫০ টাকা
১০ টি কলমের দাম ৫০ টাকা হলে ১ টি কলমের দাম কম হবে।কম হলে ভাগ হবে।
১টি কলমের দাম (৫০/১০) টাকা হলে ৪ টি কলমের দাম বেশি হবে।বেশি হলে গুন হবে।
১০ টি কলমের দাম ৫০ টাকা
১ টি কলমের দাম(৫০/১০) টাকা
৪ টি কলমের দাম {(৫০/১০)*৪} টাকা
=২০ টাকা
৫ কেজি চাল ১০ জন লোকের ৫ দিন চললে ৫ কেজি চাল ১ জন লোকের বেশি দিন চলবে।বেশি হলে গুণ হবে।
১ জন লোকের (৫*১০) দিন চললে ২ জন লোকের কম দিন চলবে।কম হলে ভাগ হবে।
৫ কেজি চাল ১০ জন লোকের ৫ দিন চলে
৫ কেজি চাল ১ জন লোকের (৫*১০) দিন চলে
৫ কেজি চাল ২ জন লোকের {(৫*২)/২} দিন চলে
=৫ দিন চলে
১ টি কাজ ৮ জন লোক ৩ দিনে করলে ১ জন লোক কাজটি করতে বেশি দিন লাগবে।বেশি হলে গুন হবে।
১ জন লোক (৩*৮)দিনে করলে ৪ জন লোক কম দিনে করতে পারবে।কম হলে ভাগ হবে।
১ টি কাজ ৮ জন লোক ৩ দিনে করে
১ টি কাজ ১ জন লোক (৩*৮) দিনে করে
১ টি কাজ ৪ জন লোক {(২*৮)/৪} দিনে করে
=৪ দিনে করে
১ টি কাজ করতে ৫ দিন লাগলে ১/২ অংশ কাজ করলে কম দিন কম দিন লাগবে।
১ টি কাজ করতে ৫ দিন লাগে
১/২ কাজ করতে ৫*(১/২) দিন লাগে
=২.৫ দিন লাগবে
ভগ্নাংশ এর ক্ষেত্রে কম লাগলে গুন ও বেশি লাগলে ভাগ হবে।
১। ৩ দিনে একটি কাজের ১/২৭ অংশ শেষ হলে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে কত দিন লাগবে?
ক। ৮১ দিন               খ। ৯ দিন
গ। ২৪৩দিন              ঘ। ২৭ দিন
সমাধানঃ
১/২৭ অংশ কাজ করতে লাগে ৩ দিন
১ বা সম্পূর্ণ কাজ করতে লাগে =৩/(১/২৭) দিন
=৮১ দিন
সঠিক উওর ক।
২।৩ দিনে একটি কাজের ১/২৭ অংশ শেষ হলে ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে?
ক। ৮১ দিন               খ। ৯ দিন
গ। ২৪৩ দিন             ঘ। ২৭ দিন
সমাধানঃ
১/২৭ অংশ কাজ করতে লাগে ৩ দিন
১ বা সম্পূর্ণ কাজ করতে লাগে =৩/(১/২৭) দিন
৩ গুণ কাজ করতে লাগে =৩*৩(১/২৭)
=২৪৩ দিন
সঠিক উওর গ।
৩।রহিম ১ সপ্তাহে ৪৯ টি চেয়ার বানাতে পারে।২০১০ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে সে কয়টি চেয়ার বানাতে পারবে।
ক।২১০টি খ।২৩০টি গ।১৯৬টি ঘ।কোনটিই নয়
সমাধানঃ
১ সপ্তাহ =৭ দিন
২০১০ সালের ফেব্রুয়ারি মাস=২৮ দিন
৭ দিনে চেয়ার বানায় ৪৯ টি
১ দিনে চেয়ার বানায় ৪৯/৭ টি
২৮ দিনে চেয়ার বানায় (৪৯/৭)*২৮ টি
=১৯৬ টি
সঠিক উওর গ।
৪। ৮ মাসে ২০০ টাকার যত লাভ হয়,কত মাসে ৪০০ টাকার তত লাভ হয়?
ক। ২ মাস                খ। ৩ মাস
গ। ৪ মাস                 ঘ। ৬ মাস
সমাধানঃ
২০০ টাকার যে লাভ ৮ মাসে হয়
১ টাকার সে লাভ ৮*২০০ মাসে হয়
৪০০ টাকার সে লাভ (৮*২০০)/৪০০ মাসে হয়
=৪ মাসে
সঠিক উত্তর গ।
সরল মুনাফা একই সূত্র ব্যবহার করে সকল সমস্যার সমাধান।
অনুশীলন এর মাধ্যমে দ্রুত করার অভ্যাস করতে হবে।খুব অল্প দিনের মধ্যেই আপনি মুখে মুখেই অতি দ্রুত অনেক সমস্যার সমাধান করতে পারবেন।
সূএঃ১। মুনাফা=(আসল*সময়*সুদের হার)/১০০
বা, I=Pnr
I=সুদ
P= আসল
n= সময়
r= সুদের হার
সূএঃ২। মুনাফাআসল=আসল+মুনাফা
১।৫% হারে ৫৪০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা কত?
ক. ১০০ খ.১০৮
গ.১০৭ ঘ.১০৯
সমাধানঃ
মুনাফা=(মুলধন*সময়*মুনাফারহার)/১০০
বা, I=Pnr
=(৫৪০*৪*৫)/১০০
=১০৮
সঠিক উওর খ।
২।৫% হারে কত টাকার ৪ বছরের মুনাফা আসলে ৬৪৮ হবে?
ক.৫৪৫ খ.৫৪০
গ.৫৫০ ঘ.৫৩৫
সমাধানঃ
I=Pnr
I=সুদ
P= আসল
n= সময়
r= সুদের হার
প্রশ্নে আসল ও সুদ দেওয়া নেই।তাই উওর এর অপসন থেকে আসল নিয়ে মান যাচাই করব।
ক এর মান যাচাই
I=Pnr
বা, I=৫৪৫*৪*৫/১০০
=১০৯
সুদাসল=আসল+সুদ
=৫৪০+১০৯
=৬৪৯
ক সঠিক উওর নয়।
খ এর মান যাচাই
I=Pnr
বা, I=৫৪০*৪*৫/১০০
=১০৮
সুদাসল=আসল+সুদ
=৫৪০+১০৮
=৬৪৮(উওর এর সাথে মিলে গেছে)
সঠিক উওর খ।
খ তে সঠিক উওর পেয়ে গেছি।তাই গ,ঘ এর মান যাচাই এর দরকার নাই।
৩।বার্ষিক সুদের হার ৫% থেকে হ্রাস পেয়ে ৪(৪/৩)%হওয়ায় এক ব্যক্তির ৮০ টাকা আয় কমে গেল।তার মূলধন কত ?
ক।৩২০০টাকা খ।৩২০০০ টাকা
গ।২৪০০০টাকা ঘ।৩৬০০০টাকা
সমাধানঃ
সুদের হারের পার্থক্য=৫-৪(৩/৪)(এতাই সুদের হার হবে)
সুদের পার্থক্য=৮০(এতাই সুদ হবে)
I=Pnr
বা,P=I/nr
বা,P=৮০/{১*{৫-৪(৩/৪)}/১০০}
=৩২০০০
ক সঠিক উওর।
৪।সরল সুদের হার শতকরা কত হলে যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুন হবে?
ক।১২.৫০ টাকা খ।২০ টাকা
গ।২৫ টাকা ঘ।১৫ টাকা
সমাধানঃ
আসল না থাকলে আসল ১০০ ধরতে হবে।
সুদে-আসলে তিনগুন হলে ৩০০ হবে।
সুদ= সুদ-আসলে
=৩০০-১০০
=২০০
I=Pnr
বা,r=I/Pn
বা,r=(২০০*১০০)/(১০০*৮)
বা,r=২৫
গ সঠিক উওর।
৫। ৬% সরল সুদে ৮০০ টাকার কত বছরের সুদ ৪৮০ টাকা হবে?
ক।৪ বছর খ।৫ বছর
গ।৬ বছর ঘ।১০ বছর
সমাধানঃ
I=Pnr
বা,n=I/Pr
বা,n=৪৮০/৮০০*(৬/১০০)
বা,n=১০
সঠিক উওর ঘ।
বি.দ্রঃ IPnr এর যে রাশিটি বের করতে হবে তা বাদে বাকি সব রাশির মান প্রশ্নে দেওয়া থাকলে সরাসরি I=Pnr সূত্র দ্বারা বের করা যায়।যেমনঃ ১নং এ I,n,r এর মান দেওয়া আছে P বের করতে হবে।২নং এ P বের করতে হবে প্রশ্নে n,r দেওয়া আছে কিন্তু I এর মান দেওয়া নাই।তাই প্রশ্নের অপশন থেকে I=Pnr অনুসারে সত্যতা যাচাই করে উওর বের করা যায়।
বিভাজ্য সংক্রান্ত সমস্যা
১। ৮৪ ও ১২ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য(৮৪ ও ১২ সহ)?
ক.১৮টি খ.১৯টি গ.২০টি ঘ৮টি
সমাধানঃ
৮৪ ও ১২ এর মধ্যে বিভাজ্য সংখ্যা(৮৪ ও ১২ সহ)
={(৮৪-১২)/৪}+১
=(৭২/৪)+১
=১৮+১
=১৯
সঠিক উত্তর খ
২। ৮৪ ও ১২ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য(৮৪ ও ১২ বাদে)?
ক.১৭টি খ.১৮টি গ.১৯টি ঘ২০টি
সমাধানঃ
৮৪ ও ১২ এর মধ্যে বিভাজ্য সংখ্যা(৮৪ ও ১২ বাদে)
={(৮৪-১২)/৪}-১
=(৭২/৪)-১
=১৮-১
=১৭
সঠিক উত্তর ক
৩। ২৫৫ থেকে কত বিয়োগ করলে সংখ্যাটি ৯,১৫,২৫ দ্বারা
নিঃশেষে বিভাজ্য?
ক.২৫ খ.৩০ গ.৩৫ ঘ.৪০
সমাধানঃ
৯,১৫,২৫ সংখ্যা তিনটি বিভাজ্য হবে এদের ল.সা.গু দ্বারা
৯,১৫,২৫ এর ল.সা.গু=২২৫
২৫৫ থেকে বিয়োগ করতে হবে=২৫৫-২২৫
=৩০
সঠিক উত্তর খ
৪।১৯৭ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৯,১৫,২৫ দ্বারা ভাগ করলে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ক.২৫ খ.২৭ গ.২৮ ঘ.২৯
সমাধানঃ
৯,১৫,২৫ সংখ্যা তিনটি বিভাজ্য হবে এদের ল.সা.গু দ্বারা
৯,১৫,২৫ এর ল.সা.গু=২২৫
১৯৭ এর সাথে যোগ করতে হবে=২২৫-১৯৭
=২৮
সঠিক উত্তর গ
৫। ১২,৫১,২৪৩ সংখ্যা তিনটিই কত দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক.২ খ.৩ গ.৪ ঘ.৫
সমাধানঃ
১২,৫১,২৪৩ সংখ্যা তিনটি বিভাজ্য হবে এদের গ.সা.গু দ্বারা
১২,৫১,২৪৩ এর গ.সা.গু =৩
সঠিক উত্তর খ।
লসাগু ও গসাগু
দুইটি সংখ্যার গুনফল=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু।
বা,একটি সংখ্যা*অপর সংখ্যা=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু
১। দুইটি সংখ্যার গুনফল ১৫৩৬।সংখ্যা দুইটির লসাগু ৯৬ হলে গসাগু কত?
ক।১৬ খ।২৪ গ।৩২ ঘ।১২
সমাধানঃ
দুইটি সংখ্যার গুনফল=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু
বা,সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু= দুইটি সংখ্যার গুনফল
বা,গসাগু= দুইটি সংখ্যার গুনফল/ সংখ্যা দুইটির লসাগু
বা,গসাগু=১৫৩৬/৯৬
বা,গসাগু=১৬
সঠিক উওর ক।
লসাগু নির্ণয়ঃ
২। ৪ ও ৬ এর লসাগু কত?
ক. ২৪                     খ. ১৬
গ. ১৮                     ঘ. ১২
সমাধানঃ
লসাগু এর ক্ষেত্রে (লসাগু / যে সংখ্যাসমূহের লসাগু) করে দেখতে হবে। সব কয়টি অপশন ভাগ করে ভাগফল পূর্নসংখ্যা ও ছোট হবে সেটিই হবে সঠিক উওর।
ক এর মান যাচাই
২৪/৪=৬
২৪/৬=৪
খ এর মান যাচাই
১৬/৪=৪
১৬/৬=২.৬৬
পূর্নসংখ্যা নয়।তাই
খ সঠিক উওর নয়।
গ এর মান যাচাই
১৮/৪=৪.৫
১৮/৬=৩
পূর্নসংখ্যা নয়।তাই
গ সঠিক উওর নয়।
ঘ এর মান যাচাই
১২/৪=৩
১২/৬=২
ক ও ঘ উভয় ভাগফল পূর্নসংখ্যা এবং ক এর ভাগফল এর চেয়ে ঘ এর ভাগফল ছোট। তাই ঘ সঠিক উওর ।
গসাগু নির্ণয়ঃ
৩। ১২ ও ১৬ এর গসাগু কত?
ক. ২                       খ. ৩
গ. ৬                       ঘ. ৪
সমাধানঃ
গসাগু এর ক্ষেত্রে (যে সংখ্যাসমূহের গসাগু /গসাগু) করে দেখতে হবে। সব কয়টি অপশন ভাগ করে ভাগফল পূর্নসংখ্যা ও ছোট হবে সেটিই হবে সঠিক উওর।
ক এর মান যাচাই
১২/২=৬
১৬/২=৮
খ এর মান যাচাই
১২/৩=৪
১৬/৩=৫.৩৩
গ এর মান যাচাই
১২/৬=২
১৬/৬=২.৬৬
ঘ এর মান যাচাই
১২/৪=৩
১৬/৪=৪
ক ও ঘ উভয় ভাগফল পূর্নসংখ্যা এবং ক এর ভাগফল এর চেয়ে ঘ এর ভাগফল ছোট। তাই ঘ সঠিক উওর ।
 
 
                 ডাউনলোড করতে এখানে ক্লিক করুন
 
 Download From Google Drive 
 
Download From Yandex
 
 
 
👀 প্রয়োজনীয় মূর্হুতে 🔍খুঁজে পেতে শেয়ার করে রাখুন.! আপনার প্রিয় মানুষটিকে “send as message”এর মাধ্যমে শেয়ার করুন। হয়তো এই গুলো তার অনেক কাজে লাগবে এবং উপকারে আসবে।

এরকম আরো গুরুত্বপূর্ণ পোস্ট পড়তে নিচের                          দেওয়া লিংকে ক্লিক করুন

 
 
 
 
 
RELATED ARTICLES

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

- Advertisment -

Most Popular

Recent Comments

auto ads
error: Content is protected !!