Tuesday, January 25, 2022
Homeগণিত টিপসবিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

পিডিএফ ডাউনলোড

 

মান নির্ণয়
১। () x-1/x= 3 হলেX+ 1/x এর মাননির্ণয় করুন। (.)
সমাধান:
X+ 1/x6
= (x2)3 + (1/x2)3
= (x2 + 1/x2)3 – 3. X2. 1/x2(x2 + 1/x2)
={(x – 1/x)2 + 2.x. 1/x}3 -3{(x – 1/x)2 + 2.x. 1/x}
={(√3)2 + 2}3 – 3{(√3)2 + 2}
= (3+2)3 – 3(3+2)
=53 – 3×5
=125 – 15
= 110
সমাধান
() সমাধান করুনঃ 1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x   (.)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x
Or, 1/(a+b+x) – 1/x = 1/a + 1/b
Or, (x- a- b – x) / x(a+b+x) = (a+b)/ab
Or, -(a+b)/ x(a+b+x) = (a+b)/ab
Or, -1/ x(a+b+x) = 1/ab
Or, ax + bx +x2 = – ab
Or, x2 + bx + ax + ab = 0
Or, x(x+b) + a(x+b) = 0
Or, (x+b)(x+a) = 0
এখন,
X+b = 0
Or, x = -b
অথবা,
X+a = 0
Or, x = -a
অতএব, x = -a, -b
উৎপাদক
২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুনঃ
() 54x4 + 27x3a – 16x -8a (.)
সমাধান:
54x4 + 27x3a – 16x -8a
=27x3(2x+a) – 8(2x+a)
=(2x+a)(27x3 – 8)
=(2x+a){(3x)3 – 23)
=(2x+a)(3x-2){(3x)2 + 3x×2 +22)
=(2x+a)(3x-2)(9×2 + 6x +4)
() 12x2 + 35x + 18 (.)
সমাধান:
12x2 +35x + 18
= 12x2 + 8x + 27x + 18
=4x(3x + 2) + 9(3x + 2)
=(3x + 2)(4x + 9)
লাভক্ষতি
৩। একজন দোকানী একই মূল্যে দুইটিজামা বিক্রয় করেন।একটি জামায় তিনি10% লাভ করেন এবংঅন্যটিতে 10% লোকসান দেন।তার শতকরা লাভবা ক্ষতি কত? ()
সমাধান:
ধরি, উভয় জামারবিক্রয়মূল্য x টাকা
10% লাভের ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য 110 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100/110 টাকা
বিক্রয়মূল্য x টাকা হলেক্রয়মূল্য 100x/110টাকা = 10x/11 টাকা
আবার,
10% ক্ষতির ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য 90 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100/90 টাকা
বিক্রয়মূল্য x টাকা হলেক্রয়মূল্য 100x/90 টাকা = 10x/9 টাকা
মোট ক্রয়মূল্য = (10x/11 + 10x/9) টাকা= 200x/99 টাকা
মোট বিক্রয়মূল্য = (x + x) টাকা= 2x টাকা
এখানে, ক্রয়মূল্য > বিক্রয়মূল্য। অর্থাৎ, ক্ষতি হয়েছে
ক্ষতি = (200x/99 x) টাকা
= (200x – 198x)/99 টাকা
= 2x/99 টাকা
200x/99 টাকায় ক্ষতিহয় 2x/99 টাকা
1 টাকায় ক্ষতিহয় (2x × 99)/(99 × 200x) টাকা
100 টাকায় ক্ষতিহয় (2x × 99) ×100 / (99 × 200x) টাকা
=1 টাকা
উত্তর: ক্ষতি %
ত্রিকোনমিতি
() 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হলে, tanθ এর মাননির্ণয় করুন। (.)
সমাধান:
দেয়া আছে,
7sin2θ + 3cos2θ = 4
Or, 7sin2θ + 3(1 – sin2θ) = 4
Or, 7sin2θ + 3 – 3sin2θ = 4
Or, 4 sin2θ = 1 ———(1)
আবার,
7sin2θ + 3cos2θ = 4
Or, 7(1 – cos2θ) + 3cos2θ = 4
Or, 7 – 7cos2θ + 3cos2θ = 4
Or, – 4cos2θ = -3
Or, 4cos2θ = 3 ———(2)
এখন,
(1) ÷ (2) থেকে পাই,
4sin2θ/4cos2θ = 1/3
Or, tan2θ = 1/3
Or, tanθ = ± 1/√3
() sinθ/x = coseθ/y হলে, প্রমাণ করুন যে, sinθ coseθ = (x-y)/(x2 + y2) (.)
সমাধান:
দেয়া আছে,
Sinθ/x = cosθ/y
Or, ySinθ = xcosθ
Or, y2Sin2θ = x2cos2θ ————- (1)
এখন (1) থেকে,
y2Sin2θ – x2cos2θ = 0
Or, y2Sin2θ – x(1- Sin2θ) = 0
Or, y2Sin2θ – x+ x2 Sin2θ = 0
Or, Sin2θ(x2 + y2) = x2
Or, Sin2θ = x2/ (x2 + y2)
Or, Sinθ = x/√(x2 + y2) —————– (2)
আবার (1) থেকে,
y(1 – cos2θ) – x2cos2θ = 0
Or, y– ycos2θ – x2cos2θ = 0
Or,  – cos2θ(x+ y2) = – y2
Or, cos2θ(x+ y2) = y2
Or, cos2θ= y2/(x+ y2)
Or, cosθ = y/√(x2 + y2) ———— (3)
(2)-(3) থেকে পাই,
Sinθ – cosθ = x/√(x2 + y2) – y/√(x2 + y2)
= (x – y)/√(x2 + y2)
(প্রমাণিত)
Mental Ability
৫। তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটি নির্ণয় করুনযার অঙ্কগুলাের যােগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্কমৌলিক সংখ্যা নির্দেশ করে।আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন। ()
সমাধান:
যেহেতু, অঙ্ক ৩টিরযোগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্কইমোলিক সংখ্যা হবেএবং সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, সেহেতু সংখ্যাটির শুরুহবে ক্ষুদ্রতম মৌলিকসংখ্যা 2 দ্বারা
এখন, বাকি দুটিঅংকের যোগফল হবে=(11-2) = 9
যোগফল 9 হবে এমনদুটি মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে 2 7
তাহলে সংখ্যাটি হবে227 অথবা 272
কিন্তু, যে সকলসংখ্যার শেষে 2 অথবা0 থাকে তারা 2 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ মৌলিকসংখ্যা নয়
আবার, 227 সংখ্যাটি  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 মৌলিকসংখ্যার কোনটিই দ্বারা বিভাজ্য নয়
অতএব,  সংখ্যাটি হবে227যার অঙ্কগুলোর যোগফল11 এবং প্রত্যেকেই মৌলিকসংখ্যা
 
সূচক
৬। সমাধান করুন4x-3(2x+2) + 2= 0 ()
সমাধান:
4x-3(2x+2) + 2= 0
Or, (2x)2 – 3(2x.22) + 32 = 0
Or, (2x) – 3(2x.4) + 32 = 0
Or, (2x) – 12. 2x + 32 = 0
Or, (2x) – 8. 2x – 4. 2x + 32 = 0
Or, 2x(2x – 8) -4(2x – 8) = 0
Or, (2x – 8)((2x – 4) = 0
এখন,
(2x – 8) = 0
Or, 2x = 8
Or, 2x = 23
Or, x = 3
অথবা,
(2x – 4) = 0
Or, 2x = 4
Or, 2x = 22
Or, x = 2
উত্তর: x = 2, 3
 লগারিদম
() If a = xyp-1, b = xyq-1, c=xyr-1 হলে  প্রমাণ করুন যে, aq-r . br-p . cp-q = 1. (.)
L.H.S.= aq-r . br-p . cp-q
= (xyp-1)(q-r) . (xyq-1)(r-p) . (xyr-1)(p-q)
=x(q-r).y(p-1)(q-r) . x(r-p).y(q-1)(r-p) . x(p-q).y(r-1)(p-q)
=x(q-r)+ (r-p)+ (p-q) . y(p-1)(q-r)+ (q-1)(r-p)+ (r-1)(p-q)
=x(q-r+r-p+p-q).y(pq-pr-q+r+qr-r-pq+p+pr-p-qr+q)
=x0y0
=1.1
=1 = R.H.S. (প্রমাণিত)
সুদকষা
৮। যদি চক্রবৃদ্ধি সুদেরক্ষেত্রে প্রথম, দ্বিতীয় তৃতীয় বছরে বার্ষিক সুদেরহার যথাক্রমে r1%, r2% এবং r3% হয়তবে তিন বছরশেষে P টাকার সমূলচক্রবৃদ্ধি কত হবে? ()
উত্তর:
r1% হার সুদে১ম বছরে সুদাসল,
= P(1+1.r1/100)টাকা
= P(1+r1/100)টাকা
r2% হারসুদে 2 বছরেসুদাসল,
=P(1+r1/100(1 + r2/100)টাকা
=P(100+r1)(100+r2)/10000 টাকা
r3% হার সুদে৩য় বছরে সুদাসল,
= { P(100+r1)(100+r2)/10000}(1+r3100) টাকা
= P(100+r1)(100+r2)(1+r3100)/1000000 টাকা
সরলরেখা
৯। (1,2) (-3,5) বিন্দুগামী সরলরেখা থেকে (-2,0) বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় করুন। ()
সমাধান:
(1,2) (-3,5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
(x-1)/(1+3) = (y-2)/(2-5)
Or, (x-1)/4 = (y-2)/(-3)
Or, -3x  + 3 = 4y – 8
Or, -3x – 4y + 3 + 8 = 0
Or,  – 3x – 4y + 11 = 0
Or, 3x + 4y – 11 = 0
এখন,
(-2,0) বিন্দুটি থেকে3x + 4y 11 = 0 সরলরেখাটির দূরত্ব,
= |3.(-2) + 4.0 – 11|/√(32 + 42)
= |-6 – 11|/√(9+16)
= |-17|/√25
=17/5
অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব = 17/5 একক
ভেনচিত্র
১০। 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে40 জন গণিতে, 20 জনপরিসংখ্যানে এবং 10 জনউভয় বিষয়ে ফেলকরে। একজন পরীক্ষার্থী দৈবভাবে নেওয়া হলাে। তার পক্ষে –
() গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ
() কেবল এক বিষয়ে পাশ
() বড়জোর এক বিষয়ে পাশ করার সম্ভাবনা কত? ()
উত্তর:
গণিত/
পরিসংখ্যান
পরিসংখ্যান
(ফেল)
পরিসংখ্যান
(পাশ)
মোট
গণিত
(ফেল)
10 (দেয়া আছে)
30
40(দেয়া আছে)
গণিত
(পাশ)
10
150
160
মোট
20(দেয়া আছে)
180
200(দেয়া আছে)
উপরের ছক থেকে,
() গণিতেফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ
মোট ঘটনা = 200
গণিতে ফেল এবংপরিসংখ্যানে পাশ করারঘটনা = 30
অতএব, সম্ভাব্যতা = 30/200 = 3/20
() কেবলএক বিষয়ে পাশ
মোট ঘটনা = 200
কেবল পরিসংখ্যানে পাশ= 30 জন
কেবল গণিতে পাশ= 10 জন
কেবল 1 বিষয়ে পাশ= (30+10) জন = 40 জন
অতএব, সম্ভাব্যতা = 40/200 = 1/5
() বড়জোর এক বিষয়ে পাশকরার সম্ভাবনা কত:
বড়জোর 1 বিষয়ে পাশঅর্থাৎ উভয় বিষয়েফেল এবং 1 বিষয়েপাশ করে
= (30+10+10) = 50 জন
অতএব, সম্ভাব্যতা = 50/200 = 1/4
বিন্যাস সমাবেশ
১১। () MATHEMATICS শব্দটির অক্ষরগুলি দ্বারা কত ভাবে বিন্যাস করাসম্ভব? নির্ণয় করুন।(.)
উত্তর:
মোট বর্ণ 11 টি।যার মধ্যে 2টিM, 2টি A 2টিT আছে
অতএব, বিন্যাস সংখ্যা,
= 11!/(2!.2!2!)
= 4989600
() COMBINATION শব্দটি হতে 4 অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন।(.)
উত্তর:
COMBINATION শব্দটিতে 13 টিলেটার আছে
এর মধ্যে O 2টা, I 2টা N 2টাঅর্থাৎ 3জোড়া
এখন সম্ভাব্য 3টিঘটনা ঘটতে পারে
১ম ক্ষেত্রে,
4টি লেটারই স্বতন্ত্র,
8C4 = 8!/(8-4)!.4!= 8!/4!.4! = 70
২য় ক্ষেত্রে,
2টি লেটারএকই এবং বাকি2টি স্বতন্ত্র,
3 জোড়া থেকেদুটি একই এবংবাকি 7টি থেকে2টি স্বতন্ত্র লেটারনিয়ে,
3C1 × 7C2 = 63
৩য় ক্ষেত্রে,
2টি লেটারএকই এবং অন্যদুটিও একই,
3C2 = 3
অতএব, মোট সমাবেশ = 70+63+3 = 136
পরিমিতি
১২। ২৮ সেমিব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তাকার ধাতুর পাতবাঁকিয়ে কোণক আকৃতির কাপ তৈরি করাহলাে। কাপটির গভীরতা ধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করুন। ()
সমাধান:
দেয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাস = ২৮সেমি
অতএব, ব্যাসার্ধ = r = ২৮/= ১৪সেমি
অর্ধবৃত্তের পরিধি = πr = ১৪π
এখন, অর্ধবৃত্তাকার ধাতুরপাত বাঁকিয়ে কোণকআকৃতির কাপ তৈরিকরা হলাে
অতএব, কোণক আকৃতির কাপের কৌনিক উচ্চতা = অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪সেমি
বৃত্তাকার তলের পরিধি, R = অর্ধবৃত্তের পরিধি,
অর্থাৎ,.
πR = ১৪π
R =
সেমি
কোনকের উচ্চতা, অর্থাৎ গভীরতা
h =√(১৪২ ৭২)
= √(১৯৬৪৯) = ১৪৭ =
কোনকের ধারণক্ষমতা বাআয়তন,
= (
/) πR2h
= (
/) × (২২/) × ৭২ ×
=
৬২২.৩৭ ঘনসেমি

ডাউনলোড করতে এখানে ক্লিক করুন 

Download From Google Drive

Download From Yandex

RELATED ARTICLES
- Advertisment -

Most Popular

Recent Comments

auto ads
error: Content is protected !!